📚 Competencias Clave · FCOV12 · Matemáticas Nivel 3

Todo el temario para que lo entiendas de verdad

Basado en el libro de Alfonso González Ortiz (Paraninfo). Cada fórmula explicada paso a paso, con ejemplos del libro, ejercicios resueltos y tests de repaso. A tu ritmo, sin saltarte nada.

UD 1 · 6 temas

Números y Operaciones

Factores primos, MCM, MCD, fracciones, decimales, notación científica, proporcionalidad, porcentajes e interés.

Factores primosMCM/MCDFraccionesNotación científicaPorcentajesInterés

UD 2 · 2 temas

Medidas

Sistema métrico decimal, unidades agrarias, conversiones y operaciones completas con ángulos en sistema sexagesimal.

ConversionesUnidades agrariasÁngulosSexagesimal

UD 3 · 6 temas

Geometría

Pitágoras, áreas y perímetros de polígonos, círculo, prismas, pirámides, cilindros, conos, esferas y problemas complejos.

PitágorasÁreasVolúmenesCuerpos

UD 4 · 3 temas

Álgebra

Monomios, polinomios, identidades notables, ecuaciones de 1º y 2º grado, sistemas de ecuaciones y lenguaje algebraico.

MonomiosEcuacionesSistemasIdentidades

UD 5 · 2 temas

Estadística y Probabilidad

Media, moda, mediana, rango, varianza, desviación típica y probabilidad con la Regla de Laplace.

Media/Moda/MedianaVarianzaDesviación típicaProbabilidad

📺 Canal YouTube del autor: Busca alfonsoeducador en YouTube para ver los mismos ejercicios del libro explicados en vídeo. Es el mismo profesor y es un complemento perfecto.

UD1 · Números y Operaciones

1.1 Números Naturales — Factores Primos, MCD y MCM

Los números naturales (ℕ) surgieron de la necesidad de contar. Se representan como ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} y son infinitos. Sus conjuntos de múltiplos y divisores, junto con el MCM y el MCD, son herramientas imprescindibles para trabajar con fracciones, simplificaciones y problemas de reparto.

1.1.1 Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad permiten saber si un número es divisible por otro sin tener que hacer la división. Los principales (que aparecen en los factores primos más habituales) son 2, 3, 5, 7 y 11.

Divisible por	Condición	Ejemplo
2	Su última cifra es 0 o par (0, 2, 4, 6, 8)	48 → última cifra 8 → sí ✓
3	La suma de todas sus cifras es múltiplo de 3	126 → 1+2+6=9 → múltiplo de 3 ✓
5	Su última cifra es 0 o 5	255 → última cifra 5 → sí ✓
7	Multiplica por 2 la última cifra y réstala al resto. Si el resultado es 0 o múltiplo de 7 → sí.	315 → 31−(2×5)=31−10=21=7×3 → sí ✓
11	La diferencia entre suma de cifras en posición par y suma en posición impar es 0 o múltiplo de 11	231 → pos.par=3, pos.impar=2+1=3 → 3−3=0 → sí ✓

💡 Recuerda

Si un número no es divisible por otro, tampoco lo son sus múltiplos. Por ejemplo: el 52 no es divisible por 3, luego tampoco lo son 6, 9, 12, 15, 18…

1.1.2 Números primos y composición factorial

Un número es primo si tiene exactamente dos divisores: la unidad y él mismo (ej.: 2, 3, 5, 7, 11, 13…). Un número es compuesto si tiene más de dos divisores exactos (ej.: 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18). El 1 no es ni primo ni compuesto; es simplemente un divisor.

🧮 Criba de Eratóstenes (s. III a. C.)

Método para obtener todos los primos hasta un número dado. Consiste en eliminar los múltiplos de cada primo encontrado:
• Elimina múltiplos de 2 (excepto el 2): 4, 6, 8, 10…
• Elimina múltiplos de 3 (excepto el 3): 6, 9, 12, 15…
• Elimina múltiplos de 5 (excepto el 5): 10, 15, 20, 25…
• Y así con 7, 11, 13, 17…
Los que sobran son primos. Primos menores de 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Descomponer un número en factores primos consiste en expresarlo como producto de números primos (en orden creciente, con potencias). Existen dos métodos; usaremos el de la línea vertical (2.º método), que es el más extendido:

📋 Método de la línea vertical — pasos

1. Escribe el número a la izquierda de una línea vertical.
2. A la derecha, escribe el menor primo por el que es divisible.
3. Escribe el cociente debajo a la izquierda; ponle el siguiente primo divisible a la derecha.
4. Repite hasta que el cociente sea 1.
5. La descomposición = producto de los primos de la derecha (con potencias si se repiten).

📝 Ejemplo del libro: Descomponer 84 y 630

84:

84 = 2² × 3 × 7

630:

630 = 2 × 3² × 5 × 7

💡 Obtener todos los divisores de un número

Con la descomposición factorial podemos hallar todos los divisores. Para el 24 = 2³ × 3: tomamos todos los productos posibles entre sus factores. Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 (8 divisores en total, que coincide con (3+1)×(1+1)=8).

1.1.3 Máximo Común Divisor (m.c.d.)

El MCD de dos o más números es el mayor número que los divide exactamente a todos. Se aplica cuando hay que repartir en grupos iguales lo más grandes posible.

Método por divisores (para números pequeños)

1. Escribe todos los divisores de cada número.
2. Identifica los divisores comunes.
3. El mayor de ellos es el MCD.

Ej.: mcd(18,40): divisores de 18={1,2,3,6,9,18}, divisores de 40={1,2,4,5,8,10,20,40}. Comunes={1,2}. mcd=2

Método por factores primos (para números grandes)

1. Descompón cada número.
2. Coge solo los factores COMUNES a todos.
3. De los comunes, el de menor exponente.
4. Multiplica.

Es el método del libro para el examen.

📝 Ejemplo del libro (pág. 10): mcd(84, 120)

84 = 2² × 3 × 7 120 = 2³ × 3 × 5

Factores comunes: 2 (en ambos) y 3 (en ambos). El 7 solo está en 84; el 5 solo en 120 → no se cogen.

Menor exponente de 2: min(2,3)=2 → tomamos 2². Menor exponente de 3: min(1,1)=1 → tomamos 3.

mcd(84,120) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

mcd(84, 120) = 12

🧮 Algoritmo de Euclides (¿Sabías que…?)

Es un método alternativo para hallar el MCD de dos números. Consiste en dividir los elementos de la división (divisores y restos) de forma consecutiva:
1. Dividimos 18 entre 12 → cociente 1, resto 6.
2. El resto 6 se convierte en nuevo divisor: dividimos 12 entre 6 → resto 0.
3. Al obtener resto 0, el MCD es el divisor que lo produjo: mcd(18,12) = 6.
Es más rápido para números grandes.

📝 Problema real (pág. 11): Frutero con 126 kg fresas y 462 kg plátanos

Quiere colocarlos en cajas de la misma cantidad sin que sobre ninguno. ¿Cuánto pesará cada caja (el mayor peso posible)? ¿Cuántas cajas de cada tipo necesita?

Buscamos mcd(126, 462). Descomponemos:
126 = 2 × 3² × 7 462 = 2 × 3 × 7 × 11

Comunes: 2¹, 3¹ y 7¹ → mcd = 2 × 3 × 7 = 42 kg por caja

Cajas fresas: 126 ÷ 42 = 3 cajas. Cajas plátanos: 462 ÷ 42 = 11 cajas.

Cada caja pesa 42 kg. Se necesitan 3 cajas para fresas y 11 para plátanos.

1.1.4 Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)

El MCM de dos o más números es el menor número positivo que es múltiplo de todos ellos. Se usa cuando hay que sincronizar ciclos, buscar el denominador común de fracciones, etc.

Método por múltiplos (para números pequeños)

1. Escribe los múltiplos de cada número.
2. Identifica los múltiplos comunes.
3. El menor (distinto de 0) es el MCM.

Ej.: mcm(4,9): múltiplos de 4={0,4,8,12,…,36,…}, múltiplos de 9={0,9,18,27,36,…}. Primer común: 36.

Método por factores primos (para el examen)

1. Descompón cada número.
2. Coge TODOS los factores (comunes y no comunes).
3. De los repetidos, el de mayor exponente.
4. Multiplica todo.

Resumen MCM vs MCD

MCM → TODOS los factores → exponente MAYOR MCD → solo COMUNES → exponente MENOR

📝 Ejemplo del libro (pág. 13): mcm(66, 108, 120)

66 = 2 × 3 × 11 108 = 2² × 3³ 120 = 2³ × 3 × 5

Factores: 2, 3, 5, 11. Mayor exponente de cada uno: 2³, 3³, 5¹, 11¹

mcm = 2³ × 3³ × 5 × 11 = 8 × 27 × 5 × 11 = 11.880

mcm(66, 108, 120) = 11.880

📝 Ejemplo del libro (pág. 12): Problema del taekwondo

Laura va al club cada 3 días. Raúl va cada 5 días. Se encontraron hoy. ¿Cuándo volverán a coincidir?

Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15… Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15…

mcm(3, 5) = 15 días

Laura y Raúl volverán a coincidir en el club en 15 días.

📝 Ejemplo del libro (pág. 14): Carteles de aviso en 420 m

Dos operarios instalan carteles de peligro por electrocución. La extensión total es 420 m. Uno coloca un cartel cada 12 m y otro cada 15 m. Si la extensión total es de 420 m, ¿cuántos carteles colocarán en total?

12 = 2² × 3 15 = 3 × 5

Factores comunes y no comunes → mayor exponente: 2², 3, 5 → mcm(12,15) = 4 × 3 × 5 = 60 m

420 ÷ 60 = 7 → se colocarán 7 carteles en total.

mcm(12,15) = 60. Colocarán 7 carteles en la extensión de 420 m.

🔗 Relación útil entre MCM y MCD

Para dos números a y b se cumple: a × b = mcm(a,b) × mcd(a,b). Esto puede servir como comprobación rápida. Ejemplo: 12 × 18 = 216. mcm(12,18)=36 y mcd(12,18)=6. Comprobamos: 36 × 6 = 216 ✓

✏ Ejercicios del libro (págs. 9–14)

1. Descompón 84 en factores primos.

84÷2=42 → 42÷2=21 → 21÷3=7 → 7 es primo. 84 = 2² × 3 × 7

2. Calcula mcd(18, 40) por el método de divisores.

Divisores de 18={1,2,3,6,9,18}. Divisores de 40={1,2,4,5,8,10,20,40}. Comunes={1,2}. mcd(18,40)=2

3. Maribel tiene 12 rotuladores azules y 20 verdes. Quiere hacer paquetes iguales lo más grandes posibles sin que sobre ninguno. ¿Cuántos por paquete?

mcd(12,20): 12={1,2,3,4,6,12}, 20={1,2,4,5,10,20}. Comunes={1,2,4}. Mayor=4. Hará paquetes de 4: 3 de azules y 5 de verdes.

4. Calcula mcd(84, 120) por el método de factores primos.

84=2²×3×7 · 120=2³×3×5. Comunes con menor exp: 2²×3=4×3=12

5. Calcula mcm(4, 9) por el método de múltiplos.

Múltiplos de 4: 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36… Múltiplos de 9: 0,9,18,27,36… mcm(4,9)=36

6. Calcula mcd(126, 462). Recuerda factorizar primero.

126=2×3²×7 · 462=2×3×7×11. Comunes con menor exp: 2¹×3¹×7¹=2×3×7=42

7. Un frutero tiene 126 kg de fresas y 462 kg de plátanos. Quiere cajas iguales lo más pesadas posible. ¿Cuántas cajas de fresas y plátanos necesita?

mcd(126,462)=42 kg/caja (ver ejercicio anterior). Cajas fresas=126÷42=3. Cajas plátanos=462÷42=11.

8. ¿Es el 231 divisible por 11? Justifica.

Cifras en posición par (contando desde la derecha desde 1): posición 2 = 3. Cifras en posición impar: posición 1=1, posición 3=2. Suma impares=2+1=3. Diferencia=3−3=0 → múltiplo de 11 → Sí, 231 es divisible por 11 (231=11×21).

9. Laura va al club cada 3 días y Raúl cada 5. ¿Cuándo se encontrarán de nuevo?

mcm(3,5)=3×5=15 días

10. Calcula mcm(66, 108, 120).

66=2×3×11 · 108=2²×3³ · 120=2³×3×5. Todos: 2³×3³×5×11=8×27×5×11=11.880

UD1 · Números y Operaciones

1.2 Números Enteros

Los números enteros (ℤ) son una ampliación de los naturales que incluye los negativos. ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Los negativos se escriben precedidos del signo − y entre paréntesis cuando aparecen en operaciones: −3 es lo mismo que (−3). Aparecen en temperaturas bajo cero, saldos bancarios negativos, alturas bajo el nivel del mar, pisos de sótano…

1.2.1 Representación en la recta numérica y valor absoluto

En la recta numérica, el 0 es el origen. Los positivos van a la derecha, los negativos a la izquierda, en segmentos iguales.

← −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 →

Reglas de comparación:
• Cualquier positivo > 0 > cualquier negativo
• Entre positivos: mayor el más alejado del 0 → +8 > +3
• Entre negativos: mayor el más CERCANO al 0 → −2 > −5 (aunque 2 < 5)

El valor absoluto de un número entero es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica. Es siempre positivo o cero. Se escribe con barras: |n|.

Valor absoluto

|n| = n si n ≥ 0 |n| = −n si n < 0

|−3| = 3 (distancia 3 unidades del 0) |+6| = 6 |0| = 0
Los opuestos tienen el mismo valor absoluto: |−6| = |+6| = 6

📝 Ejemplo del libro (pág. 18): Valor absoluto de −3 y +6

|−3| = 3 (el −3 está a 3 unidades del 0)

|+6| = 6 (el +6 está a 6 unidades del 0)

Los dos números distan 3+6 = 9 unidades entre sí en la recta numérica.

1.2.2 Suma y resta de números enteros

Mismo signo → suma

Se suman los valores absolutos y se pone el signo común.
(+35) + (+82) = +(35+82) = +117
(−35) + (−82) = −(35+82) = −117

Distinto signo → resta

Se resta el de menor valor absoluto al mayor y se pone el signo del mayor.
(+35) + (−82) = −(82−35) = −47
(−35) + (+82) = +(82−35) = +47

Para restar dos enteros, sumamos el opuesto del segundo: a − b = a + (−b). El signo − de la resta cambia el signo del número que le sigue.

📝 Ejemplos del libro (pág. 19)

(+35) − (−82) = (+35) + (+82) = +117

(−35) − (+82) = (−35) + (−82) = −117

(+35) − (+82) = (+35) + (−82) = −47

(−35) − (−82) = (−35) + (+82) = +47

1.2.3 Multiplicación y división de enteros — regla de los signos

Para multiplicar o dividir enteros, multiplica/divide los valores absolutos y aplica la regla de los signos al resultado:

+ × +

= Positivo

− × −

= Positivo

+ × −

= Negativo

− × +

= Negativo

− ÷ −

= Positivo

+ ÷ −

= Negativo

🧠 Regla fácil

Iguales → Positivo. Distintos → Negativo. Si multiplicas varios negativos: si hay un número PAR de negativos el resultado es positivo; si es IMPAR, negativo.

📝 Ejemplos del libro (pág. 20)

(+35) × (−82) = −(35×82) = −2.870

(−35) × (−82) = +(35×82) = +2.870

(+1.260) ÷ (−21) = −(1260÷21) = −60

(−1.260) ÷ (−21) = +(1260÷21) = +60

1.2.3 Uso del paréntesis y reglas de prioridad

Cuando hay un signo delante de un paréntesis, aplicamos las siguientes reglas:

+ delante de ( ) → los signos NO cambian

+(−8+3−15+42) = −8+3−15+42 = +22
O bien: calcula el interior primero: +(+22) = +22

− delante de ( ) → los signos CAMBIAN (todos)

−(−8+3−15+42) = +8−3+15−42 = −22
O bien: −(+22) = −22

📝 Ejemplo del libro (pág. 22): Operaciones combinadas

(+122) + (−100) − (+10−63+41) + (−15) + (+29−32+1−158)

Quitamos paréntesis: +122 −100 −10+63−41 −15 +29−32+1−158

Agrupamos positivos: +122+63+29+1 = +215

Agrupamos negativos: −100−10−41−15−32−158 = −356

+215 −356 = −141

Reglas de prioridad en operaciones combinadas:

1.º Corchetes y paréntesis

De dentro hacia afuera. Dentro de cada paréntesis, primero × y ÷, luego + y −.

2.º × y ÷

De izquierda a derecha.

3.º + y −

De izquierda a derecha. Siempre las últimas.

📝 Ejemplo del libro (pág. 23): Operación combinada compleja

(−3) · [(−250) − (+40) · (−12) − 180 : (−3)] + 189

Dentro del corchete, primero × y ÷: (+40)·(−12)=−480 y 180:(−3)=−60

Corchete: (−250) − (−480) − (−60) = −250+480+60 = +290

(−3) × 290 = −870

−870 + 189 = −681

💡 ¿Sabías que…? Números amigos

Dos números son amigos cuando la suma de los divisores propios de uno es igual al otro. Por ejemplo, 220 y 284 son amigos: los divisores de 220 suman 284 y los divisores de 284 suman 220. Los chinos los llamaban "números de la amistad" en el siglo III.

✏ Ejercicios del libro (págs. 17–24)

1. Temperatura 5°C. Baja 8°C por la noche y sube 3°C al día siguiente. ¿Temperatura final?

5 − 8 + 3 = 0°C

2. Ordena de menor a mayor: −8, +3, −1, 0, +6, −4

−8 < −4 < −1 < 0 < +3 < +6

3. Indica el valor absoluto de cada número: −7, +4, −100, 0

|−7|=7, |+4|=4, |−100|=100, |0|=0

4. Calcula: (−35) + (+82) − (−47)

(−35)+(+82)=+47. +47−(−47)=+47+47=+94

5. Calcula: 15 − (−3) × 4 + (−20) ÷ 5

(−3)×4=−12 · (−20)÷5=−4 · 15−(−12)+(−4)=15+12−4=23

6. Resuelve: 10 − [(−2) × (5 − 7) + 8] ÷ (−2)

5−7=−2 · (−2)×(−2)=+4 · [4+8]=12 · 12÷(−2)=−6 · 10−(−6)=10+6=16

7. Noelia ganó 1.200€ en la lotería. Javier debe 3.500€ a un préstamo. ¿Cuál es la situación económica de cada uno?

Noelia: +1.200€ (saldo positivo). Javier: −3.500€ (saldo negativo, en números rojos).

8. Estamos en el sexto piso (+6) y bajamos 3 plantas. ¿En qué planta estamos?

+6 − 3 = +3 (tercer piso)

9. Calcula: (+122) + (−100) − (+10−63+41) + (−15) + (+29−32+1−158)

= +122−100−10+63−41−15+29−32+1−158. Positivos: 122+63+29+1=215. Negativos: −100−10−41−15−32−158=−356. Resultado: 215−356=−141

10. Resuelve: (−3) · [(−250) − (+40) · (−12) − 180 : (−3)] + 189

Corchete: −250+480+60=290. (−3)×290=−870. −870+189=−681

UD1 · Números y Operaciones

1.3 Fracciones y Decimales en entornos cotidianos

Los números racionales (ℚ) son los que se pueden expresar como fracción a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0. Un número racional tiene infinitas representaciones en forma de fracción (fracciones equivalentes). Las fracciones son imprescindibles para repartir, expresar partes de un todo y operar con denominadores comunes.

1.3.1 Conceptos básicos y tipos de fracciones

La fracción a/b se lee "a partido de b". El numerador (a) indica las partes que tomamos; el denominador (b) indica en cuántas partes iguales se divide la unidad. El denominador nunca puede ser cero.

Lectura del denominador: 2→medios, 3→tercios, 4→cuartos, 5→quintos, 6→sextos, 7→séptimos, 8→octavos, 9→novenos, 10→décimos. A partir del 10 se añade «avos»: 50→cincuentavos, 23→veintitresavos.

Tipo	Condición	Representa	Ejemplo
Propia	Numerador < Denominador	Un número < 1	23/441 < 1
Igual a la unidad	Numerador = Denominador	El número 1	698/698 = 1
Impropia	Numerador > Denominador	Un número > 1	1275/356 > 1

💡 Fracción impropia → Número mixto

Una fracción impropia puede expresarse como número mixto (entero + fracción propia). Se hace dividiendo el numerador entre el denominador: el cociente es la parte entera y el resto es el nuevo numerador.

Ejemplo (pág. 28): 36/15 → 36÷15=2 y resto 6 → 36/15 = 2 + 6/15 = 2 6/15

1.3.2 Fracciones equivalentes — amplificación y simplificación

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad (igual valor numérico). Se verifican de 4 formas distintas:

1. Mismo valor numérico

Haz la división y comprueba que dan lo mismo.
13/14 = 0,928 y 117/126 = 0,928 → son equivalentes.

2. Productos cruzados iguales

a/b = c/d ↔ a·d = b·c
13×126 = 1638 y 14×117 = 1638 → sí ✓

3. Amplificando

Multiplica numerador y denominador por el mismo número ≠ 0.
13/14 × (9/9) = 117/126 ✓

4. Simplificando

Divide numerador y denominador por su MCD.
117/126 ÷ (mcd=3) = 39/42 ÷ 3 = 13/14 ✓

⚠️ Fracción irreducible

Una fracción es irreducible cuando mcd(numerador, denominador) = 1 y ya no se puede simplificar más. Todas las operaciones con fracciones deben dar el resultado en forma irreducible. Método rápido: calcula el mcd de numerador y denominador y divide ambos por él.

📝 Ejemplo del libro (pág. 29): Verifica que 13/14 y 117/126 son equivalentes

13:14 = 0,928 y 117:126 = 0,928 → igual valor ✓

13×126 = 1638 = 14×117 → productos cruzados iguales ✓

Simplificando 117/126 entre 3: 39/42. Entre 3 otra vez: 13/14 ✓

Son equivalentes. La forma irreducible es 13/14.

1.3.3 Comparación y ordenación de fracciones

Hay tres situaciones para comparar fracciones:

Mismo denominador

Mayor la que tenga mayor numerador.
5/11 < 17/11 < 16/5

Mismo numerador

Mayor la que tenga menor denominador (cuartos más grandes que octavos).
8/16 < 8/10 < 8/12

Distinto num. y denom.

Reduce a común denominador (mcm) o usa productos cruzados.
23/60 < 125/32

1.3.4 Operaciones con fracciones

Resultado siempre irreducible. Las cuatro operaciones básicas:

Suma y resta

Mismo denominador

Se suman/restan los numeradores. El denominador no cambia.
65/45 + 139/45 + 231/45 = (65+139+231)/45 = 435/45 = 29/3

Distinto denominador

1. Calcula el mcm de los denominadores.
2. Amplifica cada fracción al denominador común.
3. Suma/resta numeradores.

📝 Ejemplo del libro (pág. 38): 7/4 − 13/9 − 8/3 + 29/6

mcm(4, 9, 3, 6) = 2² × 3² = 36

Amplificamos: 7/4→63/36, 13/9→52/36, 8/3→96/36, 29/6→174/36

(63 − 52 − 96 + 174)/36 = 89/36

7/4 − 13/9 − 8/3 + 29/6 = 89/36 (ya es irreducible)

Multiplicación

Fórmula

(a/b) × (c/d) = (a·c)/(b·d)

Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. Luego se simplifica.
Ejemplo: (12/13) × (5/7) × (9/5) = (12×5×9)/(13×7×5) = 540/455 = 108/91

División

Fórmula — multiplica por la inversa

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a·d)/(b·c)

La inversa de a/b es b/a (se "da la vuelta"). También por productos cruzados: numerador = a×d, denominador = b×c.
Ejemplo: (23/12) ÷ (11/31) = (23×31)/(12×11) = 713/132

📝 Ejemplo del libro (pág. 39): Calcula los cocientes

(−7/12) ÷ (5/2) = (−7/12) × (2/5) = (−7×2)/(12×5) = −14/60 = −7/30

(23/12) ÷ (11/31) = (23×31)/(12×11) = 713/132 = 713/132

Operaciones combinadas con fracciones

Se aplica la misma jerarquía de operaciones que con los enteros: primero paréntesis (de dentro hacia afuera), luego × y ÷, finalmente + y −.

📝 Ejemplo del libro (pág. 40): 2/3 − (3/2) × (6/5 + 7/10 − 8/15)

Paréntesis — mcm(5,10,15)=30: 36/30 + 21/30 − 16/30 = 41/30

Multiplicación: (3/2) × (41/30) = 123/60 = 41/20

mcm(3,20)=60: 40/60 − 123/60 = −83/60

Resultado: −83/60

1.3.5 Tipos de números decimales y conversión

Tipo	Descripción	Ejemplo
Exacto	Número finito de cifras decimales	0,5 1,25 250/10 = 25
Periódico puro	Las decimales se repiten desde el principio	0,333… = 0,3̄ = 3/9 = 1/3
Periódico mixto	Parte no periódica + parte periódica repetida	0,1666… = 0,16̄

Fracción → Decimal

Divide numerador ÷ denominador.
3/4 = 3÷4 = 0,75
1/3 = 1÷3 = 0,333…

Decimal exacto → Fracción

Número sin coma / potencia de 10.
0,75 = 75/100 = 3/4
0,125 = 125/1000 = 1/8

Periódico puro → Fracción

Período / tantos 9 como cifras del período.
0,333… = 3/9 = 1/3
0,727272… = 72/99

💡 ¿Sabías que…? Los egipcios y las fracciones unitarias

Hace miles de años los egipcios usaban solo fracciones con numerador 1 ("unitarias"). Para expresar 1/3 lo escribían como 1/4 + 1/12 usando la fórmula: 1/a = 1/(a+1) + 1/(a·(a+1)).

✏ Ejercicios del libro (págs. 27–41)

1. Indica el tipo de fracción y la lectura de: 23/50, 70/23, 19/3, 89/2

23/50 = propia → "veintitrés cincuentavos". 70/23 = impropia → "setenta veintitresavos". 19/3 = impropia → "diecinueve tercios". 89/2 = impropia → "ochenta y nueve medios".

2. Expresa 36/15 como número mixto.

36÷15=2 y resto 6. Resultado: 2 + 6/15 = 2 6/15

3. Verifica si 25/80 y t/80 son equivalentes cuando t=25. Calcula t para que 10/25 y 72/t sean equivalentes.

a) t=25 → trivialmente equivalentes. b) 10·t = 25·72 → 10t=1800 → t=180

4. Simplifica a irreducible: 36/45

mcd(36,45): 36=2²×3², 45=3²×5. Comunes: 3²=9. 36÷9=4, 45÷9=5 → 4/5

5. Juan gastó 1/5 en alquiler y 2/4 en comida. ¿Qué fracción le queda?

1/5+2/4: mcm=20 → 4/20+10/20=14/20=7/10. Queda: 1−7/10=3/10 del sueldo.

6. Realiza: 65/45 + 139/45 + 231/45

(65+139+231)/45=435/45=145/15=29/3

7. Realiza: 79/123 − 236/123 − 155/123

(79−236−155)/123=(79−391)/123=−312/123=−104/41

8. Calcula: 7/4 − 13/9 − 8/3 + 29/6

mcm(4,9,3,6)=36. 63/36−52/36−96/36+174/36=89/36. 89/36 (irreducible)

9. Calcula el producto: (12/13) × (5/7) × (9/5)

(12×5×9)/(13×7×5)=540/455=108/91

10. Calcula: (−11/9) × (21/11) × (−4/7)

(−11×21×(−4))/(9×11×7) = (231×4)/693 = 924/693 = 308/231 = 4/3

11. Convierte 0,727272… a fracción irreducible.

Período "72" de 2 cifras → 72/99. mcd(72,99)=9. 8/11

12. En el colegio, 7/9 de los 900 alumnos utilizan una tablet. ¿Cuántos alumnos usan tablet?

7/9 de 900 = (7×900)/9 = 6300/9 = 700 alumnos

UD1 · Números y Operaciones

1.4 Potencias y Raíces

Una potencia es la forma abreviada de expresar una multiplicación cuyos factores son siempre iguales. Las raíces son la operación inversa. La notación científica usa potencias de 10 para números muy grandes o pequeños. Dominar estas operaciones es esencial para álgebra, geometría y ciencias.

1.4.1 Concepto de potencia: base y exponente

Se escribe como: Base → aⁿ → Exponente. La base son los factores iguales que se repiten. El exponente indica cuántas veces. Si la potencia no tiene exponente, por defecto es 1.

Definición y lectura

aⁿ = a × a × a × … (n veces)

200² = "doscientos elevado a dos" o "doscientos al cuadrado"
200³ = "doscientos elevado a tres" o "doscientos al cubo"
200⁴ = "doscientos elevado a cuatro" o "a la cuarta"
200⁵ = "doscientos elevado a cinco" o "a la quinta"
1234¹ = 1234 (exponente 1 → mismo número)

📝 Signos en potencias con base negativa

Base negativa, exponente PAR → resultado POSITIVO
(−2)⁸ = +256 (el + de una base positiva siempre da positivo)

Base negativa, exponente IMPAR → resultado NEGATIVO
(−2)⁹ = −512

Signo + delante de la potencia → no afecta al signo
+(+a)ⁿ = +aⁿ y +(−a)ⁿ = −aⁿ

Signo − delante de la potencia → cambia el signo
−(+26)⁵ = −26⁵ y −(−26)⁵ = +26⁵

⚠️ Error muy común

No confundas (−a)ⁿ con −aⁿ. Son distintos:
(−4)⁶ = +4.096 (base negativa, exponente par → positivo)
−4⁶ = −4.096 (el − no es parte de la base → negativo)

1.4.2 Casos especiales de potencias

Caso	Regla	Ejemplo
Exponente 0	a⁰ = 1 (cualquier base ≠ 0)	7⁰=1, 1234⁰=1
Base 1	1ⁿ = 1 siempre	1⁵⁰⁰=1
Base 0	0ⁿ = 0 (si n≠0)	0⁷⁷⁷=0
0⁰	Indeterminado (no tiene valor definido)	0⁰ = indeterminación
Exponente negativo	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	7⁻⁵ = 1/7⁵, 13⁻² = 1/169

1.4.3 Propiedades de las potencias — Operaciones

Operación	Regla	Ejemplo del libro
Producto — misma base	aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	7⁵ · 7² · 7 = 7⁵⁺²⁺¹ = 7⁸
Cociente — misma base	aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	68⁹ : 68¹ = 68⁸
Potencia de potencia	(aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ	(89³⁰)⁴ = 89¹²⁰
Producto — mismas bases distintas	aⁿ · bⁿ = (a·b)ⁿ	6¹¹ · 7¹¹ · 8¹¹ = (6·7·8)¹¹
Cociente — mismas bases distintas	aⁿ : bⁿ = (a:b)ⁿ	11⁵ : 12⁵ : 13⁵ = (11:12:13)⁵
Potencia de fracción (exp. positivo)	(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ	(27/31)² = 27²/31²
Potencia de fracción (exp. negativo)	(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ	(23/5)⁻⁷ = (5/23)⁷

⚠️ Errores comunes con potencias

• NO puedes sumar bases distintas: 9⁰⁵ + 9⁰⁷ ≠ 9¹², hay que calcular cada una y luego sumar.
• NO puedes mezclar bases: 9¹² · 15¹⁰ · (-15)¹¹ — OJO, las bases son distintas (9 ≠ 15 ≠ -15).
• Para sumar/restar potencias, calcula el valor numérico de cada una por separado.

📝 Ejemplo del libro (pág. 47): Calcula 13² − 11³ + 9³ − 5⁴

13² = 169 11³ = 1.331 9³ = 729 5⁴ = 625

169 − 1.331 + 729 − 625 = +898 − 1.956 = −1.058

📝 Ejemplo del libro (pág. 47): Producto de potencias misma base

7⁵ · 7² · 7 = 7⁵⁺²⁺¹ = 7⁸ (sumamos exponentes)

19⁴ · 19³ · 19⁶ = 19⁴⁺³⁺⁶ = 19¹³

📝 Ejemplo del libro (pág. 48): División de potencias misma base

23⁴⁰ : 23³⁶ = 23⁴⁰⁻³⁶ = 23⁴

55²³ : 55⁴³ = 55²³⁻⁴³ = 55⁻²⁰ = 1/55²⁰

81⁻¹³ : 81⁻²⁶ = 81⁻¹³⁻(⁻²⁶) = 81¹³

1.4.4 Notación científica

La notación científica expresa cualquier número en la forma a × 10ⁿ, donde 1 ≤ |a| < 10 y n es un entero. Es imprescindible en ciencias para manejar distancias astronómicas, tamaños atómicos, etc.

Formato

N = a × 10ⁿ donde 1 ≤ |a| < 10

Números grandes (≥10) → mueve la coma a la izquierda → exponente POSITIVO
369.000.000 = 3,69 × 10⁸ (coma se mueve 8 posiciones)

Números pequeños (<1) → mueve la coma a la derecha → exponente NEGATIVO
0,000.000.000.012 = 1,2 × 10⁻¹¹ (coma se mueve 11 posiciones)

📝 Ejemplo del libro (págs. 52–54): Operaciones en notación científica

Multiplicación: (52,11 × 10⁶) × (256 × 10²⁰) = (52,11 × 256) × 10⁶⁺²⁰ = 13.340,16 × 10²⁶ = 1,334016 × 10³⁰

Suma: 0,000271 + 1,5×10⁻⁴ = 271×10⁻⁶ + 1,5×10⁻⁴ = (271+150)×10⁻⁶ = 421×10⁻⁶ = 4,21×10⁻⁴

División: (6,256×10⁻²³) ÷ (89,003×10⁻¹⁵) = (6,256÷89,003) × 10⁻²³⁻(⁻¹⁵) = 0,0702 × 10⁻⁸ = 7,02×10⁻¹⁰

🧮 Masa de la Tierra y Venus (ejemplo del libro, pág. 52)

Masa Tierra: 5.972.000.000.000.000.000.000.000 kg = 5,972 × 10²⁴ kg
Masa Venus: 4.867.000.000.000.000.000.000.000 kg = 4,867 × 10²⁴ kg
La Tierra tiene mayor masa que Venus: 5,972 × 10²⁴ > 4,867 × 10²⁴ ✓

1.4.5 Radicación — concepto y propiedades

La radicación es la operación inversa de la potencia. La raíz enésima de a (ⁿ√a) es el número b tal que bⁿ = a. El n es el índice y a es el radicando. Cuando el índice es 2 (raíz cuadrada) se omite: √808 = ²√808.

Índice n	Radicando a	Resultados	Ejemplo
n par	a > 0	Dos resultados (+ y −)	⁶√64 = +2 y −2
n par	a = 0	Resultado único = 0	⁴√0 = 0
n par	a < 0	No existe (en reales)	²√(−4) = No existe
n impar	cualquiera	Un único resultado	³√(−343) = −7

Potencias de exponente fraccionario

aᵐ/ⁿ = ⁿ√(aᵐ) Ejemplo: 27³/⁵ = ⁵√(27³)

√1=1

√4=2

√9=3

√16=4

√25=5

√36=6

√49=7

√64=8

√81=9

√100=10

1.4.6 Operaciones con radicales

Extracción de factores del radical

Para simplificar radicales, descomponemos el radicando en factores primos. Los factores cuyo exponente coincide con el índice de la raíz salen fuera; los que no coinciden quedan dentro.

📝 Ejemplo del libro (pág. 56): Extrae todos los factores de √484, ³√891, √1215

√484 = √(2·2·11·11) = √(2²·11²) = 2¹·11¹ = 22

³√891 = ³√(3·3·3·3·11) = ³√(3³·3·11) = 3·³√(3·11) = 3·³√33

√1215 = √(3·3·3·3·3·5) = √(3²·3²·3·5) = 3·3·√(3·5) = 9√15

Suma y resta de radicales semejantes

Solo pueden sumarse radicales con el mismo índice y radicando. Se suman/restan los coeficientes y el radical queda igual. Si no son semejantes, hay que simplificarlos primero para convertirlos en semejantes.

⚠️ Error común

√52 + √25 ≠ √77. No se pueden sumar radicandos directamente. Tampoco se puede hacer √(a+b) = √a + √b ni √(a−b) = √a − √b.

📝 Ejemplo del libro (pág. 57): −25³√13 + 88³√13 − 77³√13

Mismo índice (3) y mismo radicando (13) → son semejantes.

(−25 + 88 − 77)·³√13 = (88−102)·³√13 = −14·³√13

📝 Ejemplo del libro (pág. 57): √80 − 12√45 − 85√5 + 8√180

Simplificamos cada radical:
√80 = √(4²·5) = 4√5 12√45 = 12·3√5 = 36√5 8√180 = 8·6√5 = 48√5

4√5 − 36√5 − 85√5 + 48√5 = (4−36−85+48)√5 = −69√5

Producto y cociente de radicales

Para multiplicar o dividir radicales deben tener el mismo índice. Si no, hay que reducirlos a índice común primero.

Fórmulas

ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a·b) ⁿ√a ÷ ⁿ√b = ⁿ√(a÷b)

📝 Ejemplo del libro (pág. 58): Producto y cociente

12²√23 · (−5)¹⁴√4 = [12·(−5)]¹⁴√(23²·4) = −60¹⁴√(529·4) = −60¹⁴√2116

120²⁵√1200 ÷ 12²⁵√20 = (120÷12)²⁵√(1200÷20) = 10²⁵√60 = 10²⁵√60

Reducción a índice común

Para operar radicales de distinto índice, reducimos al mcm de los índices. Dividimos el índice común entre el de cada raíz y elevamos el radicando a ese resultado.

📝 Ejemplo del libro (pág. 57): Reduce a índice común ²√7, ³√23, ⁹√13

mcm(2, 3, 9) = 2·9 = 18

18÷2=9, 18÷3=6, 18÷9=2

²√7 = ¹⁸√7⁹ ³√23 = ¹⁸√23⁶ ⁹√13 = ¹⁸√13²

1.4.7 Raíces cuadradas inexactas — estimación

Cuando el radicando no es un cuadrado perfecto, estimamos la raíz entre dos enteros consecutivos.

Método de estimación de √40

1. Busca el entero mayor cuyo cuadrado no pase de 40 → 6²=36 < 40 2. Resto = radicando − (raíz entera)² = 40 − 36 = 4 3. √40 ≈ 6 (aproximación entera), con calculadora: √40 ≈ 6,32

✏ Ejercicios del libro (págs. 43–59)

1. Calcula: 13² − 11³ + 9³ − 5⁴

169 − 1331 + 729 − 625 = +898 − 1956 = −1058

2. Calcula: 7⁵ · 7² · 7

Misma base → sumamos exponentes: 7⁵⁺²⁺¹ = 7⁸

3. Calcula: (−8)²⁰ · (−8)⁻¹⁵ · (−8)⁻¹⁵ · (−8)¹⁰

(−8)²⁰⁻¹⁵⁻¹⁵⁺¹⁰ = (−8)⁰ = 1

4. Expresa 369.000.000 y 0,000000000012 en notación científica.

369.000.000 = 3,69 × 10⁸. 0,000000000012 = 1,2 × 10⁻¹¹

5. Simplifica: √484

484 = 2²×11² → √(2²×11²) = 2×11 = 22

6. Extrae factores: √1215

1215 = 3⁵·5 = 3²·3²·3·5. √(3²·3²·3·5)=3·3·√(3·5)=9√15

7. Calcula: −25·³√13 + 88·³√13 − 77·³√13

(−25+88−77)·³√13 = (88−102)·³√13 = −14·³√13

8. Calcula: √80 − 12√45 − 85√5 + 8√180

√80=4√5, 12√45=36√5, 8√180=48√5. (4−36−85+48)√5=−69√5

9. Reduce a índice común: ²√7, ³√23, ⁹√13

mcm(2,3,9)=18. 18÷2=9 → ¹⁸√7⁹; 18÷3=6 → ¹⁸√23⁶; 18÷9=2 → ¹⁸√13²

10. Un terreno cuadrado tiene 289 m². ¿Cuánto mide cada lado?

Lado = √289 = 17 m (porque 17²=289)

11. Estima √75 entre dos enteros consecutivos. ¿A cuál se acerca más?

8²=64 y 9²=81. 75 está entre 64 y 81 → √75 está entre 8 y 9. 75−64=11, 81−75=6 → más cerca de 9. Calculadora: ≈ 8,66

12. Calcula la operación combinada: 15 − 7⁰ · (8 · 2 − 3²)

7⁰=1. 8·2=16. 3²=9. 16−9=7. 15 − 1·7 = 15 − 7 = 8

UD1 · Números y Operaciones

1.5 Proporcionalidad y Porcentajes

La proporcionalidad relaciona magnitudes que varían de forma constante. Los porcentajes son su aplicación más cotidiana. El interés simple y compuesto aparecen en bancos, hipotecas y ahorros.

1.5.1 Razones y proporciones

Una razón es una comparación de dos cantidades por división: a/b o a:b. Una proporción es una igualdad de dos razones: a/b = c/d.

Propiedad fundamental

Si a/b = c/d → entonces a × d = b × c (extremos = medios)

Ejemplo: 2/3 = 6/9 → 2×9 = 3×6 = 18 ✓ Se usa para encontrar el valor desconocido.

1.5.2 Regla de tres simple

Directa — más produce más

Si una cantidad aumenta, la otra también. Se "cruzan" en diagonal.

2 kg → 3 € / 5 kg → x

x = 5×3/2 = 7,5 €

Inversa — más produce menos

Si una cantidad aumenta, la otra disminuye. Se multiplica en directo.

3 obreros → 10 días / 5 obreros → x

3×10 = 5×x → x = 6 días

⚠️ ¿Cómo saber si es directa o inversa?

Pregúntate: "¿Si hay MÁS de lo primero, habrá MÁS o MENOS de lo segundo?"
MÁS → MÁS = Directa (más kilómetros, más gasolina)
MÁS → MENOS = Inversa (más obreros, menos días de trabajo)

1.5.3 Regla de tres compuesta

Cuando intervienen más de dos magnitudes. Se analiza la relación de cada magnitud con el resultado (directa o inversa) y se opera en cadena.

📝 Ejemplo del libro: 4 máquinas → 200 piezas en 5 horas. ¿6 máquinas en 8 horas?

Relación máquinas-piezas: Directa (más máquinas → más piezas)

Relación horas-piezas: Directa (más horas → más piezas)

Planteamos: (4 máq × 5 h) / 200 piezas = (6 máq × 8 h) / x

20/200 = 48/x → x = 200×48/20 = 480 piezas

1.5.4 Porcentajes

Un porcentaje expresa una parte de 100. El 30% significa 30 de cada 100, es decir, 30/100 = 0,30.

Fórmulas esenciales

El p% de A = A × (p/100) = A × 0,0p Aumento del p%: A × (1 + p/100) → Ejemplo: 200 + 10% = 200 × 1,10 = 220 Descuento del p%: A × (1 − p/100) → Ejemplo: 200 − 10% = 200 × 0,90 = 180

📝 Ejemplo del libro: Artículo de 80 € con descuento del 15%

Descuento: 80 × 0,15 = 12 €

Precio final: 80 − 12 = 68 €

O en un paso: 80 × (1 − 0,15) = 80 × 0,85 = 68 €

1.5.5 Interés simple y compuesto

Interés Simple

Los intereses se calculan SIEMPRE sobre el capital inicial. No se acumulan.

I = C × r × t

I=interés · C=capital inicial · r=tasa (en tanto por uno) · t=tiempo

1000€ al 5% · 3 años: I = 1000×0,05×3 = 150 €

Interés Compuesto

Los intereses se acumulan al capital cada período. "El interés del interés".

Cf = Ci × (1 + r)ᵗ

Cf=capital final · Ci=capital inicial · r=tasa · t=tiempo

1000€ al 5% · 3 años: Cf = 1000×(1,05)³ = 1.157,63 €

💡 ¿Por qué el compuesto da más?

En el simple: siempre calculas el 5% de 1000 = 50€/año. En el compuesto: el primer año ganas 50€ (total 1050€), el segundo año ganas el 5% de 1050 = 52,5€… cada año ganas más porque la base crece. Por eso los bancos prefieren el compuesto para préstamos, y tú lo quieres para tus ahorros.

✏ Ejercicios del libro

1. El 60% de la población son mujeres. Hay 2.500 habitantes. ¿Cuántos hombres hay?

Mujeres: 2500×0,60=1500. Hombres: 2500−1500=1.000

2. 5 pintores tardan 12 días. ¿Cuánto tardarían 8 pintores? (Regla de tres inversa)

5×12=8×x → 60=8x → x=60/8=7,5 días

3. Capital final de 2.000 € al 3% compuesto anual durante 4 años.

Cf = 2000×(1,03)⁴ = 2000×1,1255 = 2.251,02 €

4. Para 4 personas se necesitan 300 g de harina. ¿Cuántos gramos para 7 personas?

Regla de tres directa: x=7×300/4=525 gramos

5. Inversión de 5.000 € al 4% simple anual. ¿Capital acumulado tras 5 años?

I=5000×0,04×5=1000€. Capital total=5000+1000=6.000 €

UD1 · Números y Operaciones

1.6 La Calculadora Científica

La calculadora no sustituye entender las matemáticas, pero sí agiliza los cálculos. Conocer sus teclas te ahorra errores y tiempo en el examen.

Teclas esenciales

Función	Tecla habitual	Cómo usarla
Potencia	`xʸ` o `^`	Para 2³: pulsa 2 → xʸ → 3 → =
Cuadrado	`x²`	Para 5²: pulsa 5 → x² → =
Raíz cuadrada	`√` o `√x`	Para √81: pulsa √ → 81 → = (o 81 → √)
Fracción	`a b/c`	Para 3/4: pulsa 3 → a b/c → 4 → =
Porcentaje	`%`	Para 20% de 150: pulsa 150 × 20 → % → =
Paréntesis	`( )`	Úsalos siempre que haya operaciones combinadas
Decimal↔Fracción	`S⟺D` o `F⟺D`	Convierte entre formatos el resultado

⚠️ Importante

Las calculadoras científicas respetan el orden de operaciones automáticamente. Las calculadoras básicas NO: calcula manualmente los paréntesis si usas una básica.

✏ Ejercicios de práctica con calculadora

1. Calcula: (45,7 + 12,3) × 3,5 − 18,2 ÷ 0,4

(45,7+12,3)=58. 58×3,5=203. 18,2÷0,4=45,5. 203−45,5=157,5

2. Determina el valor de: 6/5 − 3 + 1/12

MCM(5,12)=60. 6/5=72/60 · 3=180/60 · 1/12=5/60. 72−180+5=−103/60=−1,7166…

3. Un producto cuesta 125 €. Se aplica IVA del 21%. ¿Precio final?

125 × 1,21 = 151,25 €

UD2 · Medidas

2.1 Sistema Métrico Decimal

El Sistema Métrico Decimal (SMD) es el sistema oficial de medida en España y la mayoría del mundo. Todo funciona en múltiplos de 10: cada escalón equivale a multiplicar o dividir por 10.

2.1.1 Longitud, masa y capacidad

📏 Regla de conversión (para las tres magnitudes)

De unidad mayor a menor → MULTIPLICAR por 10 por cada escalón
De unidad menor a mayor → DIVIDIR por 10 por cada escalón
Ejemplo: 2,5 km → cm: son 5 escalones hacia abajo → 2,5 × 10⁵ = 250.000 cm

	km / kg / kL	hm / hg / hL	dam / dag / daL	m / g / L	dm / dg / dL	cm / cg / cL	mm / mg / mL
Longitud	km	hm	dam	m	dm	cm	mm
Masa	kg	hg	dag	g	dg	cg	mg
Capacidad	kL	hL	daL	L	dL	cL	mL

2.1.2 Superficie y volumen

Superficie (m²)

Cada escalón equivale a un factor de 100 (= 10²).

1 m² = 100 dm² = 10.000 cm²

Para convertir: ×100 o ÷100 por cada escalón.

Volumen (m³)

Cada escalón equivale a un factor de 1.000 (= 10³).

1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000.000 cm³

1 dm³ = 1 L | 1 cm³ = 1 mL

🔗 Relación volumen ↔ capacidad

Esta equivalencia es muy útil para problemas de depósitos y recipientes:
1 m³ = 1.000 L | 1 dm³ = 1 L | 1 cm³ = 1 mL

2.1.3 Unidades agrarias

Se usan para medir terrenos agrícolas y aparecen mucho en problemas de herencias de tierras, fincas, etc.

Unidad	Símbolo	Equivalencia
Hectárea	ha	1 ha = 1 hm² = 10.000 m²
Área	a	1 a = 1 dam² = 100 m²
Centíárea	ca	1 ca = 1 m²

✏ Ejercicios del libro

1. Convierte 3,2 kilómetros a metros.

De km a m: 1 escalón → ×1000. 3,2×1000=3.200 m

2. Expresa 4.500 gramos en kilogramos.

De g a kg: 3 escalones arriba → ÷1000. 4500÷1000=4,5 kg

3. ¿Cuántos cm² hay en 0,5 m²?

De m² a cm²: 2 escalones de ×100 cada uno → ×10.000. 0,5×10000=5.000 cm²

4. Un depósito de 2 m³. ¿Cuántos litros contiene?

1 m³=1000 L. 2 m³×1000=2.000 litros

5. Un terreno mide 25.000 m². ¿Cuántas hectáreas son?

25000÷10000=2,5 ha

UD2 · Medidas

2.2 Ángulos y Sistema Sexagesimal

Los ángulos se miden en grados. El sistema sexagesimal divide cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Se usa en coordenadas GPS, navegación y topografía.

2.2.1 Sistema sexagesimal

Unidades

1° (grado) = 60' (minutos) | 1' (minuto) = 60" (segundos)Por tanto: 1° = 3.600"

Conversión a grados decimales

Fórmula

Grados decimales = grados + (minutos/60) + (segundos/3600)

Ejemplo del libro: 30° 45' 15" → 30 + 45/60 + 15/3600 = 30 + 0,75 + 0,00416… ≈ 30,754°

2.2.2 Suma de ángulos en sexagesimal

📋 Pasos

1. Suma segundos con segundos. Si el total ≥ 60, divide entre 60: el cociente se suma a los minutos, el resto son los segundos del resultado.
2. Suma minutos con minutos (más lo que llevas). Si el total ≥ 60, divide entre 60: el cociente se suma a los grados.
3. Suma los grados.

📝 Ejemplo del libro: 75° 30' 15" + 40° 50' 20"

Segundos: 15" + 20" = 35" (menos de 60, no hay acarreo)

Minutos: 30' + 50' = 80' → 80÷60=1 (llevo 1°) y sobran 20'

Grados: 75° + 40° + 1° (acarreo) = 116°

Resultado: 116° 20' 35"

2.2.3 Resta de ángulos en sexagesimal

📋 Pasos

Si los segundos del minuendo son menores que los del sustraendo: "pides prestado" 1' al minuendo (1'=60") y lo sumas a sus segundos.
Si los minutos del minuendo son menores que los del sustraendo: "pides prestado" 1° (=60') y lo sumas a sus minutos.

📝 Ejemplo del libro: 60° 10' 30" − 20° 45' 50"

Segundos: 30" < 50" → pedimos 1' a los 10'. Quedan 9' y 30"+60"=90". 90"−50"=40"

Minutos: 9' < 45' → pedimos 1° a los 60°. Quedan 59° y 9'+60'=69'. 69'−45'=24'

Grados: 59° − 20° = 39°

Resultado: 39° 24' 40"

2.2.4 Multiplicación y división

Multiplicación × n

Multiplica cada unidad por n. Si los segundos ≥60, convierte. Si los minutos ≥60, convierte.

15° 20' 10" × 3:
10"×3=30" · 20'×3=60'=1° · 15°×3=45° → 45°+1°=46° 0' 30"

División ÷ n

Divide los grados. El resto en grados se convierte a minutos y se suma. Divide los minutos. El resto en minutos se convierte a segundos. Divide los segundos.

46° 0' 30" ÷ 3:
46÷3=15°, r=1°=60'. 60'+0'=60'. 60÷3=20', r=0. 30÷3=10"
→ 15° 20' 10"

✏ Ejercicios del libro

1. Convierte 45° 15' 30" a grados decimales.

45 + 15/60 + 30/3600 = 45 + 0,25 + 0,00833 = 45,258°

2. Suma: (35° 50' 40") + (12° 25' 30")

Seg: 40+30=70"=1'10". Min: 50+25+1=76'=1°16'. Grados: 35+12+1=48°. 48° 16' 10"

3. Resta: (90° 0' 0") − (45° 30' 15")

Pedimos a los segundos: 0+60=60. 60−15=45". Pedimos a los minutos: 59'+60'=119'. 119−30=89'. Pedimos a los grados: 89°−45°=44°. 44° 29' 45"

4. Multiplica 20° 15' 5" por 4.

5"×4=20". 15'×4=60'=1°0'. 20°×4=80°. 80°+1°=81° 0' 20"

5. Divide 125° 40' 30" entre 5.

125÷5=25°, r=0. 40÷5=8', r=0. 30÷5=6". 25° 8' 6"

UD3 · Geometría

3.1 Teorema de Pitágoras

El teorema más famoso de las matemáticas. En un triángulo rectángulo (con ángulo de 90°), existe una relación exacta entre los tres lados. Sirve para calcular distancias, alturas, diagonales y mucho más.

Elementos del triángulo rectángulo

Catetos (a y b)

Los dos lados que forman el ángulo recto de 90°. Son los lados más cortos.

Hipotenusa (c)

El lado opuesto al ángulo recto. Es SIEMPRE el lado más largo.

Teorema de Pitágoras

c² = a² + b²a² = c² − b² (para despejar un cateto)

Donde c=hipotenusa, a y b=catetos. Para encontrar la hipotenusa: sumas los cuadrados de los catetos y calculas la raíz. Para encontrar un cateto: restas el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa.

🧠 Ternas pitagóricas (memorízalas: ahorran tiempo)

3, 4, 5 → 9+16=25 ✓ | 5, 12, 13 → 25+144=169 ✓ | 6, 8, 10 → 36+64=100 ✓ | 8, 15, 17 → 64+225=289 ✓

📝 Ejemplo del libro: Escalera de 10 m apoyada en pared, base a 6 m

La escalera es la hipotenusa: c=10. La base es un cateto: b=6. Buscamos la altura: a.

a² = c² − b² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64

a = √64 = 8 metros

✏ Ejercicios del libro

1. Triángulo rectángulo con catetos de 5 cm y 12 cm. ¿Hipotenusa?

c²=5²+12²=25+144=169. c=√169=13 cm

2. Hipotenusa=13 cm, un cateto=5 cm. ¿El otro cateto?

a²=13²−5²=169−25=144. a=√144=12 cm

3. Un poste de 15 m se rompe. La parte superior cae a 8 m de la base. ¿A qué altura se rompió?

Sea h la altura del trozo de pie, y el trozo caído tiene longitud (15−h). (15−h)²=h²+8². 225−30h+h²=h²+64. 225−64=30h. 161=30h. h≈5,37 m

4. ¿Es rectángulo el triángulo con lados 7, 24 y 25 cm?

7²+24²=49+576=625. 25²=625. Sí, es rectángulo ✓

UD3 · Geometría

3.2 Polígonos — Áreas y Perímetros

El perímetro es el contorno (la longitud de todos los lados sumados). El área es la superficie encerrada. Aquí están todas las fórmulas que necesitas.

Figura	Perímetro	Área	Variables
Cuadrado	P = 4 × L	A = L²	L=lado
Rectángulo	P = 2×(b+h)	A = b × h	b=base, h=altura
Triángulo	P = l₁+l₂+l₃	A = (b×h)/2	b=base, h=altura
Rombo	P = 4×L	A = (D×d)/2	D=diag.mayor, d=diag.menor
Romboide	P = 2×(b+lado)	A = b × h	b=base, h=altura
Trapecio	P = l₁+l₂+B+b	A = (B+b)×h/2	B=base mayor, b=menor, h=altura
Polígono regular	P = n×L	A = (P×a)/2	n=lados, a=apotema

💡 ¿Qué es la apotema?

La apotema de un polígono regular es la distancia desde el centro del polígono hasta el punto medio de cualquier lado. Es como el "radio" pero a los lados, no a los vértices. Para calcular el área de polígonos regulares (hexágono, pentágono, octágono…) siempre la necesitas.

✏ Ejercicios del libro

1. Cuadrado de 7 cm de lado. Calcula perímetro y área.

P=4×7=28 cm. A=7²=49 cm²

2. Rombo con diagonales de 10 cm y 24 cm. ¿Área?

A=(10×24)/2=240/2=120 cm²

3. Trapecio con bases 12 cm y 8 cm, altura 5 cm. ¿Área?

A=(12+8)×5/2=100/2=50 cm²

4. Pentágono regular: lado=6 cm, apotema=4,13 cm. Perímetro y área.

P=5×6=30 cm. A=(30×4,13)/2=61,95 cm²

UD3 · Geometría

3.3 Circunferencia y Círculo

La circunferencia es la línea curva (el borde). El círculo es la superficie que encierra. La constante π ≈ 3,14159 es la relación entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro.

Radio (r)

Distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia.

Diámetro (d)

d = 2r — Cruza el centro de lado a lado.

Fórmulas

Longitud de la circunferencia = 2 × π × rÁrea del círculo = π × r²

π ≈ 3,14159 (en calculadora usa la tecla π). Recuerda: L usa r una vez, Área usa r².

📝 Ejemplo del libro: Radio = 5 cm

Longitud = 2×π×5 = 10π ≈ 31,42 cm

Área = π×5² = 25π ≈ 78,54 cm²

✏ Ejercicios del libro

1. Circunferencia con diámetro 10 m. Calcula longitud y área.

r=5m. L=2π×5=10π≈31,42 m. A=π×25=25π≈78,54 m²

2. El área de un círculo es 100π cm². ¿Cuál es su radio?

πr²=100π → r²=100 → r=√100=10 cm

UD3 · Geometría

3.4 Prismas y Pirámides

Son cuerpos geométricos con caras planas (poliedros). Los prismas tienen dos bases iguales y paralelas. Las pirámides tienen una base y convergen en un vértice.

🏠 Prisma

2 bases iguales y paralelas (polígono cualquiera). Caras laterales: paralelogramos.

AT = 2×Abase + Alateral

V = Abase × altura

Alateral = Perímetro de la base × altura

△ Pirámide

1 base poligonal. Caras laterales triangulares que convergen en un vértice (ápice).

AT = Abase + Alateral

V = (Abase × altura) / 3

Alateral = (Perímetro base × apotema) / 2

💡 ¿Por qué la pirámide tiene V=1/3?

Dentro de un prisma caben exactamente 3 pirámides de la misma base y altura. Por eso el volumen de la pirámide es un tercio del del prisma. Lo mismo pasará con el cono (1/3 del cilindro).

📝 Ejemplo del libro: Prisma cuadrangular, lado=4cm, altura=10cm

Abase = 4² = 16 cm²

Alateral = (4×4) × 10 = 16 × 10 = 160 cm²

AT = 160 + 2×16 = 192 cm²

V = 16 × 10 = 160 cm³

✏ Ejercicios del libro

1. Cubo de 5 cm de arista. Calcula área total y volumen.

AT=6×5²=6×25=150 cm². V=5³=125 cm³

2. Prisma triangular: área de la base 20 cm², altura 15 cm. ¿Volumen?

V=20×15=300 cm³

3. Pirámide de base rectangular 3×4 cm y altura 5 cm. ¿Volumen?

Abase=3×4=12 cm². V=(12×5)/3=60/3=20 cm³

UD3 · Geometría

3.5 Cilindros, Conos y Esferas

Cuerpos redondos con al menos una superficie curva. Aparecen en latas, embudos, pelotas y muchos problemas prácticos.

🥫 Cilindro (r=radio, h=altura)

AT = 2πr(h + r) = 2πrh + 2πr² V = π × r² × h

Ejemplo: r=3cm, h=10cm → V=π×9×10=90π≈282,74 cm³

🍦 Cono (r=radio, h=altura, g=generatriz)

g = √(h² + r²) ← Se calcula con Pitágoras AT = π × r × (g + r) V = (π × r² × h) / 3

Ejemplo: r=4cm, h=3cm → g=√(9+16)=√25=5cm → V=(π×16×3)/3=16π≈50,27 cm³

⚽ Esfera (r=radio)

A = 4 × π × r² V = (4/3) × π × r³

Ejemplo: r=6cm → A=4π×36=144π≈452,39 cm² → V=(4/3)π×216=288π≈904,78 cm³

✏ Ejercicios del libro

1. Cono con r=4cm, h=3cm, g=5cm. Calcula área total y volumen.

AT=π×4×(5+4)=36π≈113,1 cm². V=(π×16×3)/3=16π≈50,27 cm³

2. Esfera con V=36π cm³. ¿Cuál es su radio?

(4/3)πr³=36π → r³=27 → r=∛27=3 cm

3. Depósito cilíndrico: diámetro 2m, altura 3m. ¿Capacidad en litros?

r=1m. V=π×1²×3=3π≈9,42 m³. 1m³=1000L → 9.424,78 litros

UD3 · Geometría

3.6 Resolución de Problemas Geométricos Complejos

En el examen, los problemas suelen combinar varias figuras. La clave es saber descomponer: identificar las figuras que hay, calcular cada parte por separado y combinar los resultados.

Estrategia paso a paso (del libro)

📋 Metodología

1. Lee el enunciado dos veces. Identifica qué te dan y qué te piden.
2. Dibuja la situación. Aunque sea un esquema simple ayuda mucho.
3. Identifica las figuras: ¿hay un rectángulo? ¿un cilindro? ¿se combinan?
4. Elige las fórmulas necesarias.
5. Descompón el problema en partes más sencillas si es complejo.
6. Calcula con cuidado las unidades.
7. Verifica: ¿tiene sentido el resultado?

📝 Ejemplo del libro: Pintar una piscina rectangular (10m × 5m × 2m profundidad)

Solo se pintan las paredes laterales y el fondo. Pintura: 1 L cubre 10 m².

Fondo: 10×5 = 50 m²

Paredes: 2×(10×2) + 2×(5×2) = 40+20 = 60 m²

Total: 50+60 = 110 m²

Litros: 110÷10 = 11 litros de pintura

✏ Ejercicios del libro

1. Jardín circular r=7m. Camino alrededor de 1m de ancho. ¿Área del camino?

Círculo exterior r=8m: A=π×64=64π. Círculo interior r=7m: A=49π. Camino: 64π−49π=15π≈47,12 m²

2. Cubo de 8 cm. Se le hace un agujero cilíndrico de r=2cm y h=8cm. ¿Volumen restante?

V cubo=8³=512 cm³. V cilindro=π×4×8=32π≈100,53 cm³. Restante: 512−100,53≈411,47 cm³

3. Cono de helado r=3cm, h=9cm + semiesfera r=3cm encima. ¿Volumen total?

V cono=(π×9×9)/3=27π. V semiesfera=(2/3)π×27=18π. Total=27π+18π=45π≈141,37 cm³

UD4 · Álgebra

4.1 Monomios, Polinomios e Identidades Notables

El álgebra usa letras para representar números desconocidos o que pueden cambiar. Un monomio es la "pieza básica". Un polinomio es una suma de monomios. Las identidades notables son fórmulas que salen tan seguido que vale la pena memorizarlas.

4.1.1 Monomios

Un monomio = coeficiente × parte literal. Ejemplos: 3x², −5xy³, 7a.

Coeficiente

El número. En 3x², el coeficiente es 3. En −5xy³, es −5.

Parte literal

Las letras con exponentes. En 3x², la parte literal es x².

Grado

Suma de los exponentes de la parte literal. En 3x²: grado 2. En 5xy³: grado 1+3=4.

Monomios semejantes

Misma parte literal. Solo estos se pueden sumar o restar directamente.

3x² y 5x² → semejantes

3x² y 5x → NO semejantes

Operación	Regla	Ejemplo
Suma/Resta	Solo entre semejantes. Se operan los coeficientes.	3x²+5x²=8x² \| 7xy−2xy=5xy
Multiplicación	Coeficientes se multiplican. Exponentes se SUMAN.	3x²×2x³=6x⁵ \| 4xy×(−2y²)=−8xy³
División	Coeficientes se dividen. Exponentes se RESTAN.	10x⁵÷2x²=5x³

4.1.2 Polinomios y operaciones

Un polinomio es la suma de varios monomios no semejantes. El grado del polinomio es el mayor grado de sus monomios.

📝 Suma de polinomios del libro

(3x² + 2x − 1) + (x² − 5x + 3)

Agrupa semejantes: (3+1)x² + (2−5)x + (−1+3)

= 4x² − 3x + 2

📝 Multiplicación de polinomios del libro: (x+2)(x−3)

Cada término del primero × cada término del segundo:

x×(x−3) + 2×(x−3) = x²−3x+2x−6

= x² − x − 6

4.1.3 Identidades notables

Son fórmulas que aparecen constantemente. Memorízalas: te ahorrarán mucho tiempo.

Cuadrado de la SUMA

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Ejemplo: (x+3)² = x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9
Ejemplo: (2x+5)² = 4x² + 20x + 25

Cuadrado de la RESTA

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Ejemplo: (2x−1)² = 4x² − 4x + 1
Ejemplo: (x−4)² = x² − 8x + 16

SUMA por DIFERENCIA

(a + b)(a − b) = a² − b²

Ejemplo: (x+5)(x−5) = x² − 25
Ejemplo: (3x+2)(3x−2) = 9x² − 4

🧠 Cómo reconocer cada identidad

Cuadrado de suma/resta: hay algo elevado al cuadrado → (□)² o (□)².
Suma por diferencia: dos factores iguales excepto que uno suma y el otro resta → (a+b)(a−b).
El resultado siempre tiene solo 2 términos: a²−b².

✏ Ejercicios del libro

1. Multiplica: (4a³b) × (−3ab²)

(4×−3)×a³⁺¹×b¹⁺²=−12a⁴b³

2. Resta: (5x³ − 2x² + x − 4) − (2x³ + x² − 3x + 1)

5x³−2x³=3x³ · −2x²−x²=−3x² · x+3x=4x · −4−1=−5. 3x³ − 3x² + 4x − 5

3. Desarrolla: (x − 4)²

x² − 2×x×4 + 16 = x² − 8x + 16

4. Factoriza (aplica suma×diferencia): 4x² − 9

4x²−9 = (2x)²−3² = (2x+3)(2x−3)

UD4 · Álgebra

4.2 Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad con una incógnita (x). Resolverla significa encontrar el valor de x que hace verdadera la igualdad. Son fundamentales para plantear y resolver problemas.

4.2.1 Ecuaciones de primer grado

Forma general: ax + b = 0 (la incógnita no tiene exponente mayor que 1).

Pasos para resolver

1. Quita paréntesis (usa la distributiva) 2. Pasa los términos con x a un lado y los números al otro (cambia el signo al cruzar) 3. Simplifica cada lado 4. Despeja x dividiendo por su coeficiente

📝 Ejemplo del libro: 3(x + 2) − 5 = x + 7

Quitamos paréntesis: 3x + 6 − 5 = x + 7 → 3x + 1 = x + 7

Agrupamos: 3x − x = 7 − 1 → 2x = 6

Despejamos: x = 6/2 = 3

Comprobación: 3(3+2)−5 = 15−5=10. x+7=3+7=10 ✓

4.2.2 Ecuaciones de segundo grado

Forma general: ax² + bx + c = 0 (la incógnita aparece al cuadrado).

Fórmula general (siempre funciona)

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

El valor b²−4ac se llama discriminante (Δ):
• Δ > 0 → Dos soluciones distintas (lo más frecuente)
• Δ = 0 → Una solución doble (x₁=x₂)
• Δ < 0 → Sin solución real

📝 Ejemplo del libro: x² − 5x + 6 = 0

Identificamos: a=1, b=−5, c=6

Discriminante: (−5)²−4×1×6 = 25−24 = 1

x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2

x₁ = (5+1)/2 = 3 x₂ = (5−1)/2 = 2

4.2.3 Sistemas de ecuaciones lineales

Dos ecuaciones con dos incógnitas que deben cumplirse a la vez. Tres métodos:

Método	¿Cómo?	Cuándo usarlo
Sustitución	Despejas x (o y) de una ecuación y lo sustituyes en la otra.	Cuando una ecuación tiene un término sin coeficiente
Igualación	Despejas la misma incógnita de las dos ecuaciones e igualas.	Cuando las dos ecuaciones despejadas se igualan fácil
Reducción	Sumas o restas las ecuaciones para eliminar una incógnita.	Cuando los coeficientes son iguales o fácilmente igualables

📝 Ejemplo del libro por sustitución: {x+y=5, 2x−y=1}

De la 1ª ecuación: x = 5 − y

Sustituyendo en la 2ª: 2(5−y) − y = 1 → 10−2y−y=1 → −3y=−9 → y=3

x = 5 − 3 = 2

Solución: x=2, y=3. Comprobación: 2+3=5 ✓ y 2×2−3=1 ✓

✏ Ejercicios del libro

1. Resuelve: 2(x − 3) + 4x = 3x + 9

2x−6+4x=3x+9 → 6x−6=3x+9 → 3x=15 → x=5

2. Resuelve: 2x² + 3x − 2 = 0

a=2,b=3,c=−2. Δ=9+16=25. x=(−3±5)/4. x₁=2/4=1/2 · x₂=−8/4=−2

3. Resuelve el sistema: {3x−2y=7, x+4y=7}

De la 2ª: x=7−4y. Sustituyo: 3(7−4y)−2y=7 → 21−12y−2y=7 → −14y=−14 → y=1. x=7−4=3. Solución: x=3, y=1.

4. Un número más su doble es igual a 21. ¿Cuál es el número?

x+2x=21 → 3x=21 → x=7

5. Un padre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple que la del hijo?

Sea x los años. 40+x=3(10+x) → 40+x=30+3x → 10=2x → x=5 años

UD4 · Álgebra

4.3 Lenguaje Algebraico

El lenguaje algebraico es la "traducción" entre el español y las matemáticas. Saber traducir un enunciado a una ecuación (y viceversa) es la habilidad clave para resolver problemas de álgebra.

Expresión en español	Expresión algebraica
Un número cualquiera	x
El doble de un número	2x
La mitad de un número	x/2
Un número aumentado en 5	x + 5
Un número disminuido en 3	x − 3
El triple de un número menos 7	3x − 7
El cuadrado de un número	x²
Tres números consecutivos	x, x+1, x+2
La edad de Juan hace 5 años	J − 5
La edad de María dentro de 10 años	M + 10
El perímetro de un cuadrado de lado L	4L
El área de un rectángulo de base b y altura h	b × h

📝 Ejemplo del libro: "La suma de tres números consecutivos es 45"

Números consecutivos: x, x+1, x+2

La ecuación: x + (x+1) + (x+2) = 45 → 3x+3=45 → 3x=42 → x=14

Los números son 14, 15 y 16. Comprobación: 14+15+16=45 ✓

📝 Ejemplo del libro: "Área de un rectángulo cuya base es el doble que su altura"

Altura: h. Base: 2h (el doble que h).

Área = base × altura = 2h × h = 2h²

✏ Ejercicios del libro

1. Traduce: "La edad de Juan hace 5 años era el doble de la edad que tendrá dentro de 10 años"

Sea J la edad actual de Juan. Hace 5 años: J−5. Dentro de 10 años: J+10. Ecuación: J−5 = 2(J+10) → J−5=2J+20 → −J=25 → J=−25 (sin solución real, enunciado incorrecto como ejercicio de traducción)

2. Traduce: "El perímetro de un cuadrado es 20 cm"

Perímetro = 4L = 20 → L=5 cm

3. Al doble de un número le restamos 10 y obtenemos 14. ¿Cuál es el número?

2x − 10 = 14 → 2x=24 → x=12

4. La edad de María es el triple que la de su hijo. En 10 años, la de María será el doble que la del hijo. ¿Qué edades tienen ahora?

M=3H. En 10 años: M+10=2(H+10) → 3H+10=2H+20 → H=10. M=30. Hijo: 10 años, María: 30 años

UD5 · Estadística y Probabilidad

5.1 Tablas, Gráficas y Medidas Estadísticas

La estadística organiza datos para extraer conclusiones. Las medidas de centralización nos dan un valor "representativo" del conjunto. Las medidas de dispersión nos dicen cuánto varían los datos entre sí.

5.1.1 Medidas de centralización

Media aritmética (x̄) — el promedio

Suma de todos los datos dividida entre cuántos hay.

x̄ = (Σxᵢ) / N

Σxᵢ = suma de todos los datos · N = cantidad de datos

Moda (Mo) — el más frecuente

El valor que más veces aparece. Puede haber más de una moda, o ninguna.

Mediana (Me) — el del centro

Ordenados los datos de menor a mayor: si son impares, es el valor central. Si son pares, es la media de los dos centrales.

📝 Ejemplo del libro: Notas de un alumno: 7, 8, 6, 9, 7

Media: (7+8+6+9+7)/5 = 37/5 = 7,4

Moda: el 7 aparece 2 veces (es el más frecuente) → Mo = 7

Ordenados: 6, 7, 7, 8, 9. Son 5 datos (impar) → el central es el 3º → Me = 7

5.1.2 Medidas de dispersión

Nos dicen cómo de "esparcidos" están los datos. Dos grupos pueden tener la misma media pero diferente dispersión.

Rango (R)

R = Valor máximo − Valor mínimo

Es la medida más simple. Indica el "ancho" total de los datos. Ej: si los datos van de 2 a 8, R=6.

Varianza (σ²)

σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / N

Para cada dato, calcula cuánto se aleja de la media (al cuadrado). Luego hace la media de esas distancias cuadradas. Si la varianza es grande, los datos están muy dispersos.

Desviación típica (σ)

σ = √(varianza) = √σ²

Es la raíz cuadrada de la varianza. Está en las mismas unidades que los datos originales, lo que hace que sea más fácil de interpretar. Es la medida de dispersión más usada.

📝 Ejemplo del libro: Datos 2, 4, 4, 5, 6, 8

Media: (2+4+4+5+6+8)/6 = 29/6 ≈ 4,83

Rango: 8−2 = 6

Varianza: [(2−4,83)²+(4−4,83)²+(4−4,83)²+(5−4,83)²+(6−4,83)²+(8−4,83)²] / 6

= [8,009+0,689+0,689+0,029+1,369+10,049] / 6 = 20,834/6 ≈ 3,47

Desviación típica: σ = √3,47 ≈ 1,86

Tabla de frecuencias

Organizan los datos de forma eficiente mostrando cuántas veces aparece cada valor.

Columna	Símbolo	¿Qué es?
Frecuencia absoluta	fᵢ	Nº de veces que aparece ese valor
Frecuencia relativa	hᵢ	fᵢ / N (proporción, entre 0 y 1)
Frec. abs. acumulada	Fᵢ	Suma de todas las fᵢ hasta ese valor
Frec. rel. acumulada	Hᵢ	Suma de todas las hᵢ hasta ese valor

✏ Ejercicios del libro

1. Edades: 18, 20, 19, 22, 18, 21. Calcula media, moda y mediana.

Media=(18+20+19+22+18+21)/6=118/6≈19,67. Moda=18 (aparece 2 veces). Ordenados: 18,18,19,20,21,22. Pares → Me=(19+20)/2=19,5

2. 7 estudiantes estudian: 10, 12, 8, 15, 10, 11, 14 horas. Calcula rango y desviación típica.

Rango=15−8=7. Media=(10+12+8+15+10+11+14)/7=80/7≈11,43. Varianza=[(10−11,43)²+(12−11,43)²+(8−11,43)²+(15−11,43)²+(10−11,43)²+(11−11,43)²+(14−11,43)²]/7≈[2,04+0,33+11,76+12,74+2,04+0,18+6,60]/7≈35,69/7≈5,1. σ=√5,1≈2,26

UD5 · Estadística y Probabilidad

5.2 Probabilidad — Regla de Laplace

La probabilidad mide cuántas posibilidades hay de que algo ocurra. Va de 0 (imposible) a 1 (seguro). La Regla de Laplace es la herramienta principal cuando todos los resultados posibles son igualmente probables.

5.2.1 Conceptos fundamentales

Experimento aleatorio

Proceso cuyo resultado no se puede predecir con certeza aunque se conocen todos los posibles resultados. Ej: lanzar un dado.

Espacio muestral (E)

Conjunto de TODOS los resultados posibles. Al lanzar un dado: E={1,2,3,4,5,6}.

Suceso (A)

Cualquier subconjunto del espacio muestral. Ej: "sacar par"={2,4,6}.

Probabilidad P(A)

Número entre 0 y 1. P=0 imposible · P=1 seguro · P=0,5 igual de probable que no.

5.2.2 Regla de Laplace

Regla de Laplace (casos equiprobables)

P(A) = Casos favorables a A / Casos posibles totales

Solo se puede usar cuando todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad (dado justo, baraja sin hacer trampa, bolas idénticas en una bolsa…)

📝 Ejemplo 1 del libro: ¿P(número par) al lanzar un dado?

E={1,2,3,4,5,6} → 6 casos posibles

Favorables (pares)={2,4,6} → 3 casos

P(par) = 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50%

📝 Ejemplo 2 del libro: Bolsa con 5 rojas, 3 azules, 2 verdes. ¿P(azul)?

Total bolas: 5+3+2=10 casos posibles

Favorables (azules): 3

P(azul) = 3/10 = 0,3 = 30%

💡 La probabilidad siempre es un número entre 0 y 1

Si te da más de 1, algo está mal. Si te da exactamente 1, el suceso es seguro. Si te da 0, es imposible. Puedes expresarla como fracción, decimal o porcentaje: 3/10 = 0,3 = 30%.

✏ Ejercicios del libro

1. Lanzamos una moneda al aire. ¿P(cara)?

E={cara, cruz}. Favorables=1. P=1/2=50%

2. Baraja española 40 cartas. ¿P(as)?

Hay 4 ases en 40 cartas. P=4/40=1/10=10%

3. Baraja española. ¿P(figura: sota, caballo o rey)?

4 palos × 3 figuras = 12 figuras. P=12/40=3/10=30%

4. Urna con 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿P(número mayor que 7)?

Favorables: {8,9,10}=3. P=3/10=30%

UD3 · Geometría

3.3 Circunferencia y Círculo

La circunferencia es una línea curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. El círculo es la región plana encerrada por la circunferencia. Estos conceptos son fundamentales en geometría y tienen aplicaciones prácticas en ruedas, relojes, tuberías, pizzas y muchas otras situaciones cotidianas.

3.3.1 Elementos de la circunferencia

Para trabajar con circunferencias, necesitamos conocer sus elementos principales:

Centro (O)

Punto equidistante de todos los puntos de la circunferencia. Es el punto fijo que define la circunferencia.

Radio (r)

Distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia. Todos los radios de una circunferencia tienen la misma longitud.

Diámetro (d)

Cuerda que pasa por el centro. Es el doble del radio: d = 2r. Es la cuerda más larga posible.

Cuerda

Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. El diámetro es la cuerda máxima.

Arco

Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos. Se mide en grados o en unidades de longitud.

Sector circular

Región del círculo limitada por dos radios y el arco comprendido entre ellos. Parece una "rebanada de pizza".

Segmento circular

Región del círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Corona circular

Región comprendida entre dos circunferencias concéntricas (con el mismo centro).

3.3.2 El número π (pi)

El número π es una constante matemática que representa la relación entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro. Es decir, si divides la longitud de una circunferencia entre su diámetro, siempre obtendrás π, sin importar el tamaño de la circunferencia.

Definición de π

π = Longitud de la circunferencia / Diámetro

π es un número irracional, lo que significa que tiene infinitos decimales sin patrón repetitivo. Sus primeros decimales son: π ≈ 3,14159265358979...

Para cálculos prácticos usamos π ≈ 3,14 o π ≈ 3,1416

3.3.3 Longitud de la circunferencia

La longitud (también llamada perímetro) de una circunferencia es la medida de la línea curva que la forma. Se calcula usando el número π.

Fórmula de la longitud

L = 2πr = πd

Donde r es el radio, d es el diámetro, y π ≈ 3,14

📝 Ejemplo 1: Circunferencia con radio 5 cm

Datos: r = 5 cm

Fórmula: L = 2πr = 2 × 3,14 × 5

Cálculo: L = 6,28 × 5 = 31,4 cm

Interpretación: Si recorres toda la circunferencia, habrás caminado 31,4 cm

📝 Ejemplo 2: Una rueda tiene diámetro 60 cm. ¿Cuánto recorre en una vuelta?

Datos: d = 60 cm

Fórmula: L = πd = 3,14 × 60

Cálculo: L = 188,4 cm = 1,884 m

Interpretación: En cada vuelta, la rueda recorre casi 1,9 metros

📝 Ejemplo 3: Una pista de atletismo circular tiene longitud 400 m. ¿Cuál es su radio?

Datos: L = 400 m

Fórmula: L = 2πr → r = L / (2π)

Cálculo: r = 400 / (2 × 3,14) = 400 / 6,28 = 63,7 m

3.3.4 Área del círculo

El área del círculo es la medida de la superficie plana encerrada por la circunferencia. Es diferente de la longitud: la longitud es el perímetro (la línea), mientras que el área es la región interior.

Fórmula del área

A = πr²

Donde r es el radio. Nota que es r al cuadrado, no r

📝 Ejemplo 1: Círculo con radio 4 m

Datos: r = 4 m

Fórmula: A = πr² = 3,14 × 4²

Cálculo: A = 3,14 × 16 = 50,24 m²

📝 Ejemplo 2: Una pizza tiene diámetro 30 cm. ¿Cuál es su área?

Datos: d = 30 cm, por lo tanto r = 15 cm

Fórmula: A = πr² = 3,14 × 15²

Cálculo: A = 3,14 × 225 = 706,5 cm²

3.3.5 Sector circular

Un sector circular es una "rebanada" de círculo, como un trozo de pizza. Su área depende del ángulo central que forme.

Área del sector

A_sector = (ángulo / 360°) × πr²

El ángulo debe estar en grados. Si el ángulo es 90°, el sector es 1/4 del círculo

📝 Ejemplo: Sector de 90° en un círculo de radio 6 cm

Datos: ángulo = 90°, r = 6 cm

Área total del círculo: A = π × 6² = 3,14 × 36 = 113,04 cm²

Fracción del sector: 90° / 360° = 1/4

Área del sector: (1/4) × 113,04 = 28,26 cm²

✏ Ejercicios del libro

1. Una circunferencia tiene radio 7 cm. Calcula su longitud.

L = 2πr = 2 × 3,14 × 7 = 43,96 cm

2. Un círculo tiene diámetro 10 m. ¿Cuál es su área?

r = 5 m. A = πr² = 3,14 × 25 = 78,5 m²

3. Una pizza tiene radio 15 cm. ¿Cuánto mide el borde (perímetro)?

L = 2πr = 2 × 3,14 × 15 = 94,2 cm

4. Un sector de 60° en un círculo de radio 5 cm. ¿Área?

A_sector = (60/360) × 3,14 × 25 = (1/6) × 78,5 = 13,08 cm²

5. Una pista circular tiene longitud 800 m. ¿Radio?

L = 2πr → r = 800/(2×3,14) = 800/6,28 = 127,4 m

UD3 · Geometría

3.5 Cilindros, Conos y Esfera

Estos son cuerpos de revolución: se generan al girar una figura plana alrededor de un eje. El cilindro (latas, tuberías), el cono (sombreros, helados) y la esfera (pelotas, planetas) son formas que encontramos constantemente en nuestro entorno. Para estos cuerpos necesitamos calcular áreas de superficie y volúmenes.

3.5.1 Cilindro

Un cilindro es un cuerpo geométrico formado por dos bases circulares paralelas e iguales, y una superficie lateral curva que las conecta. Ejemplos: latas de conserva, tubos, cilindros de motor.

Elementos del cilindro: radio (r), altura (h), bases circulares, superficie lateral.

Elemento	Fórmula	Explicación
Área lateral	A_l = 2πrh	Es como "desenrollar" la superficie lateral
Área de bases	A_b = 2πr²	Dos círculos de radio r
Área total	A_t = 2πrh + 2πr²	Lateral + ambas bases
Volumen	V = πr²h	Área de la base × altura

📝 Ejemplo: Cilindro con r=3 cm, h=10 cm

Área lateral: A_l = 2πrh = 2 × 3,14 × 3 × 10 = 188,4 cm²

Área de bases: A_b = 2πr² = 2 × 3,14 × 9 = 56,52 cm²

Área total: A_t = 188,4 + 56,52 = 244,92 cm²

Volumen: V = πr²h = 3,14 × 9 × 10 = 282,6 cm³

3.5.2 Cono

Un cono es un cuerpo geométrico formado por una base circular y una superficie lateral curva que termina en un punto llamado vértice o ápice. Ejemplos: conos de tráfico, sombreros de fiesta, helados en cono.

Elementos del cono: radio (r), altura (h), generatriz (g), vértice, base circular.

Generatriz: Es la distancia desde el vértice a un punto del borde de la base. Se calcula con Pitágoras: g² = h² + r²

Elemento	Fórmula	Nota
Generatriz	g² = h² + r²	Teorema de Pitágoras
Área lateral	A_l = πrg	r = radio, g = generatriz
Área base	A_b = πr²	Es un círculo
Área total	A_t = πrg + πr²	Lateral + base
Volumen	V = (1/3)πr²h	1/3 del cilindro con misma base y altura

📝 Ejemplo: Cono con r=4 cm, h=6 cm

Generatriz: g² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52 → g ≈ 7,21 cm

Área lateral: A_l = 3,14 × 4 × 7,21 = 90,6 cm²

Área base: A_b = 3,14 × 16 = 50,24 cm²

Área total: 90,6 + 50,24 = 140,84 cm²

Volumen: V = (1/3) × 3,14 × 16 × 6 = 100,48 cm³

3.5.3 Esfera

Una esfera es el conjunto de todos los puntos del espacio que están a la misma distancia (radio) de un punto central. Es la forma más simétrica que existe. Ejemplos: pelotas, planetas, naranjas, globos terráqueos.

Elemento principal: radio (r). No tiene vértices ni aristas.

Elemento	Fórmula	Ejemplo (r=5)
Área	A = 4πr²	4 × 3,14 × 25 = 314 m²
Volumen	V = (4/3)πr³	(4/3) × 3,14 × 125 ≈ 523,33 m³

📝 Ejemplo: Esfera con radio 3 m

Área: A = 4πr² = 4 × 3,14 × 9 = 113,04 m²

Volumen: V = (4/3) × 3,14 × 27 = 113,04 m³

✏ Ejercicios del libro

1. Cilindro con r=2 cm, h=8 cm. Calcula el volumen.

V = πr²h = 3,14 × 4 × 8 = 100,48 cm³

2. Cono con r=3 m, h=4 m. ¿Volumen?

V = (1/3)πr²h = (1/3) × 3,14 × 9 × 4 = 37,68 m³

3. Esfera con radio 2 cm. ¿Área?

A = 4πr² = 4 × 3,14 × 4 = 50,24 cm²

4. Esfera con radio 10 m. ¿Volumen?

V = (4/3)πr³ = (4/3) × 3,14 × 1000 ≈ 4186,67 m³

UD3 · Geometría

3.6 Resolución de Problemas Geométricos

En este tema combinamos todo lo aprendido sobre geometría: Pitágoras, áreas, volúmenes, circunferencias. Los problemas reales no vienen etiquetados con la fórmula a usar. Tienes que identificar qué figura es, qué datos tienes, qué piden, y luego aplicar las fórmulas correctas.

3.6.1 Estrategia para resolver problemas geométricos

Pasos para resolver problemas

1. Lee con cuidado el problema completo antes de empezar.
2. Identifica la figura (¿es un triángulo, círculo, cilindro, etc.?).
3. Dibuja un esquema si es necesario, aunque sea simple.
4. Extrae los datos (qué te dan) y qué piden.
5. Elige la fórmula correcta para lo que piden.
6. Calcula paso a paso, sin saltarte pasos.
7. Comprueba que la respuesta tiene sentido (¿las unidades son correctas? ¿el valor es razonable?).

3.6.2 Problemas combinados

📝 Problema 1: Caja rectangular

Una caja tiene forma de prisma rectangular: 30 cm de largo, 20 cm de ancho, 15 cm de alto. ¿Cuánto cartón se necesita para hacerla (área total)? ¿Cuál es su volumen?

Identifico: prisma rectangular (paralelepípedo)

Datos: largo=30 cm, ancho=20 cm, alto=15 cm

Área: A = 2(30×20 + 30×15 + 20×15) = 2(600+450+300) = 2(1350) = 2700 cm²

Volumen: V = 30 × 20 × 15 = 9000 cm³

📝 Problema 2: Terraza circular

Queremos poner baldosas en una terraza circular de 4 m de radio. Las baldosas cuestan 15 €/m². ¿Cuánto cuesta?

Identifico: círculo, necesito área

Datos: r = 4 m, precio = 15 €/m²

Área: A = πr² = 3,14 × 16 = 50,24 m²

Coste: 50,24 × 15 = 753,6 €

✏ Ejercicios del libro

1. Triángulo rectángulo con catetos 5 y 12. ¿Hipotenusa?

h² = 25 + 144 = 169 → h = 13

2. Rectángulo 7×9. ¿Diagonal?

d² = 49 + 81 = 130 → d ≈ 11,4

3. Esfera de radio 6 cm. ¿Volumen?

V = (4/3)πr³ = (4/3) × 3,14 × 216 ≈ 904,78 cm³

UD4 · Álgebra

4.3 Lenguaje Algebraico y Problemas

El lenguaje algebraico es la forma de traducir problemas escritos en palabras a expresiones matemáticas con variables (letras). Es como aprender a "hablar" en matemáticas. Las letras representan números desconocidos que queremos encontrar. Un mismo problema puede escribirse de muchas formas, pero la expresión algebraica es única.

4.3.1 Traducción de expresiones

Para traducir del lenguaje cotidiano al algebraico, necesitamos identificar qué letra representa el número desconocido y luego escribir la operación correspondiente.

En palabras	En álgebra	Ejemplo numérico
Un número	x	Si x=5, el número es 5
El doble de un número	2x	Si x=5, el doble es 10
El triple de un número	3x	Si x=5, el triple es 15
Un número más 5	x + 5	Si x=5, resulta 10
Un número menos 3	x − 3	Si x=5, resulta 2
El cuadrado de un número	x²	Si x=5, el cuadrado es 25
La mitad de un número	x/2	Si x=10, la mitad es 5
Dos números consecutivos	x, x+1	Si x=5, son 5 y 6
Dos números pares consecutivos	2x, 2x+2	Si x=2, son 4 y 6
Un número aumentado en 20%	1,2x	Si x=100, resulta 120

4.3.2 Problemas de una incógnita

📝 Problema 1: Edad de Juan

Juan tiene 5 años más que María. Entre los dos tienen 43 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Defino: x = edad de María

Edad de Juan: x + 5

Ecuación: x + (x + 5) = 43

Resuelvo: 2x + 5 = 43 → 2x = 38 → x = 19

Respuesta: María tiene 19 años, Juan tiene 24 años

Comprobación: 19 + 24 = 43 ✓

📝 Problema 2: Dinero en el bolsillo

Tengo el triple de dinero que tú. Si me das 10 €, tendremos lo mismo. ¿Cuánto tenemos cada uno?

Defino: x = tu dinero

Mi dinero: 3x

Después del intercambio: Yo tengo 3x−10, tú tienes x+10

Ecuación: 3x − 10 = x + 10

Resuelvo: 2x = 20 → x = 10

Respuesta: Tú tienes 10 €, yo tengo 30 €

✏ Ejercicios del libro

1. Un número más 8 es 25. ¿Cuál es?

x + 8 = 25 → x = 17

2. El doble de un número es 34. ¿Cuál es?

2x = 34 → x = 17

3. Un número menos su tercera parte es 12. ¿Cuál es?

x − x/3 = 12 → (2/3)x = 12 → x = 18

4. Tres números consecutivos suman 30. ¿Cuáles son?

x + (x+1) + (x+2) = 30 → 3x+3 = 30 → x = 9. Los números son 9, 10, 11