Todo el temario para que lo entiendas de verdad
Basado en el libro de Alfonso González Ortiz (Paraninfo). Cada fórmula explicada paso a paso, con ejemplos del libro, ejercicios resueltos y tests de repaso. A tu ritmo, sin saltarte nada.
Números y Operaciones
Factores primos, MCM, MCD, fracciones, decimales, notación científica, proporcionalidad, porcentajes e interés.
Medidas
Sistema métrico decimal, unidades agrarias, conversiones y operaciones completas con ángulos en sistema sexagesimal.
Geometría
Pitágoras, áreas y perímetros de polígonos, círculo, prismas, pirámides, cilindros, conos, esferas y problemas complejos.
Álgebra
Monomios, polinomios, identidades notables, ecuaciones de 1º y 2º grado, sistemas de ecuaciones y lenguaje algebraico.
Estadística y Probabilidad
Media, moda, mediana, rango, varianza, desviación típica y probabilidad con la Regla de Laplace.
📺 Canal YouTube del autor: Busca alfonsoeducador en YouTube para ver los mismos ejercicios del libro explicados en vídeo. Es el mismo profesor y es un complemento perfecto.
1.1 Números Naturales
Los números naturales son los primeros que aprendemos: sirven para contar. Se representan con ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}. Son infinitos y son la base de toda la aritmética. En este tema también aprenderemos a descomponer números en factores primos y a calcular el MCM y el MCD, herramientas esenciales para trabajar con fracciones.
1.1.1 Descomposición en factores primos
Un número primo es un número natural mayor que 1 que solo se puede dividir exactamente por 1 y por sí mismo. Los primeros son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…
Descomponer un número en factores primos significa escribirlo como producto de números primos. Es como "desmontar" el número en sus piezas más pequeñas.
1. Divide el número por el menor primo posible (empieza por 2).
2. Si no divide exactamente, prueba el siguiente primo (3, 5, 7…).
3. Sigue dividiendo el resultado hasta llegar a 1.
4. El número original = producto de todos los divisores usados.
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 |
Comprobación: 2×2=4 → 4×3=12 → 12×5=60 ✓
1.1.2 Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)
El MCM de dos o más números es el número más pequeño que es múltiplo de todos ellos (excluido el 0). Se usa muchísimo para sumar y restar fracciones con distinto denominador.
1. Descompón cada número en factores primos
2. Coge TODOS los factores que aparecen (comunes y no comunes)
3. Si un factor se repite, coge el de mayor exponente
4. Multiplica todos
12 = 2² × 3 18 = 2 × 3²
Factores que aparecen: 2 y 3. Con mayor exponente: 2² y 3²
MCM = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
1.1.3 Máximo Común Divisor (m.c.d.)
El MCD de dos o más números es el número más grande que divide exactamente a todos ellos. Se usa para simplificar fracciones.
1. Descompón cada número en factores primos
2. Coge SOLO los factores COMUNES a todos
3. Si se repite, coge el de MENOR exponente
4. Multiplica esos factores
12 = 2² × 3 18 = 2 × 3²
Factores comunes: 2 (en ambos) y 3 (en ambos)
Menor exponente de 2: 2¹. Menor exponente de 3: 3¹
MCD = 2 × 3 = 6
MCM = Máximo → usas el exponente Mayor. MCD = Mínimo → usas el exponente menor. En MCM coges TODOS los factores; en MCD solo los COMUNES.
1.1.4 Operaciones básicas y jerarquía
Cuando una expresión tiene varias operaciones, hay un orden obligatorio que se llama jerarquía de operaciones:
Siempre lo primero. Si hay paréntesis dentro de corchetes [ ], primero los paréntesis.
Se calculan antes que las operaciones básicas.
Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
Sumas y restas, de izquierda a derecha. Las últimas.
Paréntesis: 8 − 2 = 6 → queda: 15 + 3 × 6 ÷ 2
Multiplicación: 3 × 6 = 18 → queda: 15 + 18 ÷ 2
División: 18 ÷ 2 = 9 → queda: 15 + 9
Suma: 15 + 9 = 24
✏ Ejercicios del libro
1.2 Números Enteros
Los números enteros (ℤ) incluyen los naturales, el cero y los negativos: {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Aparecen en temperaturas bajo cero, alturas bajo el mar, deudas, pisos de sótano… Su dominio es imprescindible.
1.2.1 Representación y ordenación
En la recta numérica, el 0 está en el centro. Los positivos van a la derecha, los negativos a la izquierda. Cuanto más a la derecha, mayor es el número.
← −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 →
• Cualquier positivo > cualquier negativo → 1 > −100
• Entre positivos, mayor el más alejado del 0 → 8 > 3
• Entre negativos, mayor el más CERCANO al 0 → −2 > −5 (aunque 2 < 5)
1.2.2 Operaciones con paréntesis y corchetes
Cuando hay un signo delante de un paréntesis, hay una regla importante:
Los signos dentro NO cambian.
+(3 − 5) = +3 − 5
Todos los signos dentro CAMBIAN.
−(3 − 5) = −3 + 5
Paréntesis internos: −3+7=4 y 4−9=−5
Queda: 5 − (4) + [2 − (−5)] = 5 − 4 + [2 + 5]
Corchete: [2 + 5] = 7
5 − 4 + 7 = 8
1.2.3 Regla de los signos
Para multiplicar y dividir enteros, la regla de los signos es fundamental. Memorízala bien porque se usa en álgebra, ecuaciones y en todas partes:
Igual signo → resultado POSITIVO. Distinto signo → resultado NEGATIVO.
Piénsalo como en la vida: dos cosas malas juntas (×) pueden dar algo bueno. Un negativo y un positivo juntos siempre dan negativo.
✏ Ejercicios del libro
1.3 Fracciones y Decimales
Las fracciones representan partes de un todo. Los decimales son otra forma de expresar lo mismo. Dominar sus operaciones y conversiones es esencial para casi todo el temario.
1.3.1 Fracciones equivalentes y simplificación
Una fracción tiene numerador (partes que tomamos) y denominador (partes totales iguales). Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad: 1/2 = 2/4 = 3/6.
Dividir numerador y denominador por su MCD
Una fracción es irreducible cuando ya no se puede simplificar más, es decir, cuando el MCD del numerador y del denominador es 1. Siempre hay que dejar las fracciones en forma irreducible.
1.3.2 Operaciones con fracciones
Se suman/restan los numeradores. El denominador no cambia.
2/5 + 1/5 = 3/5
Hay que buscar el MCM de los denominadores (denominador común).
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
Numerador × Numerador / Denominador × Denominador. Sin buscar común.
3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10
Se multiplica la primera por la INVERSA de la segunda (se da la vuelta a la segunda).
1/3 ÷ 2/4 = 1/3 × 4/2 = 4/6 = 2/3
1.3.3 Tipos de números decimales
| Tipo | Descripción | Ejemplo |
|---|---|---|
| Exacto | Número finito de cifras decimales | 0,5 1,25 3,75 |
| Periódico puro | Las decimales se repiten desde el principio | 0,333… = 0,3̄ |
| Periódico mixto | Parte no periódica + parte periódica | 0,1666… = 0,16̄ |
Operaciones con decimales
Alinea las comas y opera como enteros.
2,5 + 1,35 = 3,85
Multiplica sin coma, luego coloca la coma contando decimales de ambos factores.
2,5 × 1,3 → 25×13=325 → 3,25
1.3.4 Conversión fracción ↔ decimal
Divide numerador ÷ denominador
Número sin coma / potencia de 10 (un cero por decimal)
(Número sin coma − parte entera) / tantos 9s como cifras del período
✏ Ejercicios del libro
1.4 Potencias y Raíces Cuadradas
Las potencias son una forma abreviada de escribir multiplicaciones repetidas. La notación científica usa potencias de 10 para expresar números muy grandes o muy pequeños. Las raíces cuadradas son la operación inversa de elevar al cuadrado.
1.4.1 Propiedades de las potencias
aⁿ = a × a × a × … (n veces) → a=base, n=exponente| Propiedad | Fórmula | Ejemplo | ¿Por qué? |
|---|---|---|---|
| Exponente cero | a⁰ = 1 | 7⁰ = 1 | Todo número elevado a 0 es 1 (excepto 0⁰) |
| Exponente uno | a¹ = a | 9¹ = 9 | Una sola vez el número, es el mismo |
| Producto misma base | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2² = 2⁵ = 32 | Sumas los exponentes porque son la misma base |
| Cociente misma base | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 3⁵ ÷ 3² = 3³ = 27 | Restas los exponentes |
| Potencia de potencia | (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ | (4²)³ = 4⁶ | Multiplicas los exponentes |
| Potencia de producto | (a×b)ⁿ = aⁿ×bⁿ | (2×3)² = 4×9 = 36 | Se distribuye a cada factor |
| Potencia de cociente | (a÷b)ⁿ = aⁿ÷bⁿ | (6÷2)³ = 216÷8 = 27 | Se distribuye al numerador y denominador |
1.4.2 Notación científica
La notación científica escribe cualquier número como un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. Es indispensable en ciencias para trabajar con distancias astronómicas, tamaños de átomos, etc.
N = a × 10ⁿ donde 1 ≤ |a| < 10
Números pequeños → exponente negativo: 0,000000005 = 5 × 10⁻⁹
Mueve la coma hasta que quede un número entre 1 y 10: 4,5
Contamos cuántos puestos movimos la coma: 7 puestos a la derecha
Como el número original es menor que 1, el exponente es negativo: 10⁻⁷
Si el número es grande (≥10): mueve la coma a la izquierda → exponente positivo.
Si el número es pequeño (<1): mueve la coma a la derecha → exponente negativo.
El exponente = número de posiciones que mueves la coma.
1.4.3 Raíces cuadradas
La raíz cuadrada de x es el número que elevado al cuadrado da x. Símbolo: √x. Es la operación inversa de elevar al cuadrado.
√x = y significa que y² = xPara √50: sabemos que √49=7 y √64=8. Como 50 está entre 49 y 64, √50 está entre 7 y 8. Más cerca de 7 porque 50 es más cercano a 49. Con calculadora: √50 ≈ 7,07.
✏ Ejercicios del libro
1.5 Proporcionalidad y Porcentajes
La proporcionalidad relaciona magnitudes que varían de forma constante. Los porcentajes son su aplicación más cotidiana. El interés simple y compuesto aparecen en bancos, hipotecas y ahorros.
1.5.1 Razones y proporciones
Una razón es una comparación de dos cantidades por división: a/b o a:b. Una proporción es una igualdad de dos razones: a/b = c/d.
Si a/b = c/d → entonces a × d = b × c (extremos = medios)1.5.2 Regla de tres simple
Si una cantidad aumenta, la otra también. Se "cruzan" en diagonal.
2 kg → 3 € / 5 kg → x
x = 5×3/2 = 7,5 €
Si una cantidad aumenta, la otra disminuye. Se multiplica en directo.
3 obreros → 10 días / 5 obreros → x
3×10 = 5×x → x = 6 días
Pregúntate: "¿Si hay MÁS de lo primero, habrá MÁS o MENOS de lo segundo?"
MÁS → MÁS = Directa (más kilómetros, más gasolina)
MÁS → MENOS = Inversa (más obreros, menos días de trabajo)
1.5.3 Regla de tres compuesta
Cuando intervienen más de dos magnitudes. Se analiza la relación de cada magnitud con el resultado (directa o inversa) y se opera en cadena.
Relación máquinas-piezas: Directa (más máquinas → más piezas)
Relación horas-piezas: Directa (más horas → más piezas)
Planteamos: (4 máq × 5 h) / 200 piezas = (6 máq × 8 h) / x
20/200 = 48/x → x = 200×48/20 = 480 piezas
1.5.4 Porcentajes
Un porcentaje expresa una parte de 100. El 30% significa 30 de cada 100, es decir, 30/100 = 0,30.
El p% de A = A × (p/100) = A × 0,0p
Aumento del p%: A × (1 + p/100) → Ejemplo: 200 + 10% = 200 × 1,10 = 220
Descuento del p%: A × (1 − p/100) → Ejemplo: 200 − 10% = 200 × 0,90 = 180
Descuento: 80 × 0,15 = 12 €
Precio final: 80 − 12 = 68 €
O en un paso: 80 × (1 − 0,15) = 80 × 0,85 = 68 €
1.5.5 Interés simple y compuesto
Los intereses se calculan SIEMPRE sobre el capital inicial. No se acumulan.
I = C × r × t
I=interés · C=capital inicial · r=tasa (en tanto por uno) · t=tiempo
1000€ al 5% · 3 años: I = 1000×0,05×3 = 150 €
Los intereses se acumulan al capital cada período. "El interés del interés".
Cf = Ci × (1 + r)ᵗ
Cf=capital final · Ci=capital inicial · r=tasa · t=tiempo
1000€ al 5% · 3 años: Cf = 1000×(1,05)³ = 1.157,63 €
En el simple: siempre calculas el 5% de 1000 = 50€/año. En el compuesto: el primer año ganas 50€ (total 1050€), el segundo año ganas el 5% de 1050 = 52,5€… cada año ganas más porque la base crece. Por eso los bancos prefieren el compuesto para préstamos, y tú lo quieres para tus ahorros.
✏ Ejercicios del libro
1.6 La Calculadora Científica
La calculadora no sustituye entender las matemáticas, pero sí agiliza los cálculos. Conocer sus teclas te ahorra errores y tiempo en el examen.
Teclas esenciales
| Función | Tecla habitual | Cómo usarla |
|---|---|---|
| Potencia | xʸ o ^ | Para 2³: pulsa 2 → xʸ → 3 → = |
| Cuadrado | x² | Para 5²: pulsa 5 → x² → = |
| Raíz cuadrada | √ o √x | Para √81: pulsa √ → 81 → = (o 81 → √) |
| Fracción | a b/c | Para 3/4: pulsa 3 → a b/c → 4 → = |
| Porcentaje | % | Para 20% de 150: pulsa 150 × 20 → % → = |
| Paréntesis | ( ) | Úsalos siempre que haya operaciones combinadas |
| Decimal↔Fracción | S⟺D o F⟺D | Convierte entre formatos el resultado |
Las calculadoras científicas respetan el orden de operaciones automáticamente. Las calculadoras básicas NO: calcula manualmente los paréntesis si usas una básica.
✏ Ejercicios de práctica con calculadora
2.1 Sistema Métrico Decimal
El Sistema Métrico Decimal (SMD) es el sistema oficial de medida en España y la mayoría del mundo. Todo funciona en múltiplos de 10: cada escalón equivale a multiplicar o dividir por 10.
2.1.1 Longitud, masa y capacidad
De unidad mayor a menor → MULTIPLICAR por 10 por cada escalón
De unidad menor a mayor → DIVIDIR por 10 por cada escalón
Ejemplo: 2,5 km → cm: son 5 escalones hacia abajo → 2,5 × 10⁵ = 250.000 cm
| km / kg / kL | hm / hg / hL | dam / dag / daL | m / g / L | dm / dg / dL | cm / cg / cL | mm / mg / mL | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Longitud | km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
| Masa | kg | hg | dag | g | dg | cg | mg |
| Capacidad | kL | hL | daL | L | dL | cL | mL |
2.1.2 Superficie y volumen
Cada escalón equivale a un factor de 100 (= 10²).
1 m² = 100 dm² = 10.000 cm²
Para convertir: ×100 o ÷100 por cada escalón.
Cada escalón equivale a un factor de 1.000 (= 10³).
1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000.000 cm³
1 dm³ = 1 L | 1 cm³ = 1 mL
Esta equivalencia es muy útil para problemas de depósitos y recipientes:
1 m³ = 1.000 L | 1 dm³ = 1 L | 1 cm³ = 1 mL
2.1.3 Unidades agrarias
Se usan para medir terrenos agrícolas y aparecen mucho en problemas de herencias de tierras, fincas, etc.
| Unidad | Símbolo | Equivalencia |
|---|---|---|
| Hectárea | ha | 1 ha = 1 hm² = 10.000 m² |
| Área | a | 1 a = 1 dam² = 100 m² |
| Centíárea | ca | 1 ca = 1 m² |
✏ Ejercicios del libro
2.2 Ángulos y Sistema Sexagesimal
Los ángulos se miden en grados. El sistema sexagesimal divide cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Se usa en coordenadas GPS, navegación y topografía.
2.2.1 Sistema sexagesimal
1° (grado) = 60' (minutos) | 1' (minuto) = 60" (segundos)Por tanto: 1° = 3.600"Conversión a grados decimales
Grados decimales = grados + (minutos/60) + (segundos/3600)2.2.2 Suma de ángulos en sexagesimal
1. Suma segundos con segundos. Si el total ≥ 60, divide entre 60: el cociente se suma a los minutos, el resto son los segundos del resultado.
2. Suma minutos con minutos (más lo que llevas). Si el total ≥ 60, divide entre 60: el cociente se suma a los grados.
3. Suma los grados.
Segundos: 15" + 20" = 35" (menos de 60, no hay acarreo)
Minutos: 30' + 50' = 80' → 80÷60=1 (llevo 1°) y sobran 20'
Grados: 75° + 40° + 1° (acarreo) = 116°
2.2.3 Resta de ángulos en sexagesimal
Si los segundos del minuendo son menores que los del sustraendo: "pides prestado" 1' al minuendo (1'=60") y lo sumas a sus segundos.
Si los minutos del minuendo son menores que los del sustraendo: "pides prestado" 1° (=60') y lo sumas a sus minutos.
Segundos: 30" < 50" → pedimos 1' a los 10'. Quedan 9' y 30"+60"=90". 90"−50"=40"
Minutos: 9' < 45' → pedimos 1° a los 60°. Quedan 59° y 9'+60'=69'. 69'−45'=24'
Grados: 59° − 20° = 39°
2.2.4 Multiplicación y división
Multiplica cada unidad por n. Si los segundos ≥60, convierte. Si los minutos ≥60, convierte.
15° 20' 10" × 3:10"×3=30" · 20'×3=60'=1° · 15°×3=45° → 45°+1°=46° 0' 30"
Divide los grados. El resto en grados se convierte a minutos y se suma. Divide los minutos. El resto en minutos se convierte a segundos. Divide los segundos.
46° 0' 30" ÷ 3:46÷3=15°, r=1°=60'. 60'+0'=60'. 60÷3=20', r=0. 30÷3=10"→ 15° 20' 10"
✏ Ejercicios del libro
3.1 Teorema de Pitágoras
El teorema más famoso de las matemáticas. En un triángulo rectángulo (con ángulo de 90°), existe una relación exacta entre los tres lados. Sirve para calcular distancias, alturas, diagonales y mucho más.
Elementos del triángulo rectángulo
Los dos lados que forman el ángulo recto de 90°. Son los lados más cortos.
El lado opuesto al ángulo recto. Es SIEMPRE el lado más largo.
c² = a² + b²a² = c² − b² (para despejar un cateto)3, 4, 5 → 9+16=25 ✓ | 5, 12, 13 → 25+144=169 ✓ | 6, 8, 10 → 36+64=100 ✓ | 8, 15, 17 → 64+225=289 ✓
La escalera es la hipotenusa: c=10. La base es un cateto: b=6. Buscamos la altura: a.
a² = c² − b² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64
a = √64 = 8 metros
✏ Ejercicios del libro
3.2 Polígonos — Áreas y Perímetros
El perímetro es el contorno (la longitud de todos los lados sumados). El área es la superficie encerrada. Aquí están todas las fórmulas que necesitas.
| Figura | Perímetro | Área | Variables |
|---|---|---|---|
| Cuadrado | P = 4 × L | A = L² | L=lado |
| Rectángulo | P = 2×(b+h) | A = b × h | b=base, h=altura |
| Triángulo | P = l₁+l₂+l₃ | A = (b×h)/2 | b=base, h=altura |
| Rombo | P = 4×L | A = (D×d)/2 | D=diag.mayor, d=diag.menor |
| Romboide | P = 2×(b+lado) | A = b × h | b=base, h=altura |
| Trapecio | P = l₁+l₂+B+b | A = (B+b)×h/2 | B=base mayor, b=menor, h=altura |
| Polígono regular | P = n×L | A = (P×a)/2 | n=lados, a=apotema |
La apotema de un polígono regular es la distancia desde el centro del polígono hasta el punto medio de cualquier lado. Es como el "radio" pero a los lados, no a los vértices. Para calcular el área de polígonos regulares (hexágono, pentágono, octágono…) siempre la necesitas.
✏ Ejercicios del libro
3.3 Circunferencia y Círculo
La circunferencia es la línea curva (el borde). El círculo es la superficie que encierra. La constante π ≈ 3,14159 es la relación entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro.
Distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia.
d = 2r — Cruza el centro de lado a lado.
Longitud de la circunferencia = 2 × π × rÁrea del círculo = π × r²Longitud = 2×π×5 = 10π ≈ 31,42 cm
Área = π×5² = 25π ≈ 78,54 cm²
✏ Ejercicios del libro
3.4 Prismas y Pirámides
Son cuerpos geométricos con caras planas (poliedros). Los prismas tienen dos bases iguales y paralelas. Las pirámides tienen una base y convergen en un vértice.
2 bases iguales y paralelas (polígono cualquiera). Caras laterales: paralelogramos.
AT = 2×Abase + Alateral
V = Abase × altura
Alateral = Perímetro de la base × altura
1 base poligonal. Caras laterales triangulares que convergen en un vértice (ápice).
AT = Abase + Alateral
V = (Abase × altura) / 3
Alateral = (Perímetro base × apotema) / 2
Dentro de un prisma caben exactamente 3 pirámides de la misma base y altura. Por eso el volumen de la pirámide es un tercio del del prisma. Lo mismo pasará con el cono (1/3 del cilindro).
Abase = 4² = 16 cm²
Alateral = (4×4) × 10 = 16 × 10 = 160 cm²
AT = 160 + 2×16 = 192 cm²
V = 16 × 10 = 160 cm³
✏ Ejercicios del libro
3.5 Cilindros, Conos y Esferas
Cuerpos redondos con al menos una superficie curva. Aparecen en latas, embudos, pelotas y muchos problemas prácticos.
AT = 2πr(h + r) = 2πrh + 2πr²
V = π × r² × h
g = √(h² + r²) ← Se calcula con Pitágoras
AT = π × r × (g + r)
V = (π × r² × h) / 3
A = 4 × π × r²
V = (4/3) × π × r³
✏ Ejercicios del libro
3.6 Resolución de Problemas Geométricos Complejos
En el examen, los problemas suelen combinar varias figuras. La clave es saber descomponer: identificar las figuras que hay, calcular cada parte por separado y combinar los resultados.
Estrategia paso a paso (del libro)
1. Lee el enunciado dos veces. Identifica qué te dan y qué te piden.
2. Dibuja la situación. Aunque sea un esquema simple ayuda mucho.
3. Identifica las figuras: ¿hay un rectángulo? ¿un cilindro? ¿se combinan?
4. Elige las fórmulas necesarias.
5. Descompón el problema en partes más sencillas si es complejo.
6. Calcula con cuidado las unidades.
7. Verifica: ¿tiene sentido el resultado?
Solo se pintan las paredes laterales y el fondo. Pintura: 1 L cubre 10 m².
Fondo: 10×5 = 50 m²
Paredes: 2×(10×2) + 2×(5×2) = 40+20 = 60 m²
Total: 50+60 = 110 m²
Litros: 110÷10 = 11 litros de pintura
✏ Ejercicios del libro
4.1 Monomios, Polinomios e Identidades Notables
El álgebra usa letras para representar números desconocidos o que pueden cambiar. Un monomio es la "pieza básica". Un polinomio es una suma de monomios. Las identidades notables son fórmulas que salen tan seguido que vale la pena memorizarlas.
4.1.1 Monomios
Un monomio = coeficiente × parte literal. Ejemplos: 3x², −5xy³, 7a.
El número. En 3x², el coeficiente es 3. En −5xy³, es −5.
Las letras con exponentes. En 3x², la parte literal es x².
Suma de los exponentes de la parte literal. En 3x²: grado 2. En 5xy³: grado 1+3=4.
Misma parte literal. Solo estos se pueden sumar o restar directamente.
3x² y 5x² → semejantes
3x² y 5x → NO semejantes
| Operación | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Suma/Resta | Solo entre semejantes. Se operan los coeficientes. | 3x²+5x²=8x² | 7xy−2xy=5xy |
| Multiplicación | Coeficientes se multiplican. Exponentes se SUMAN. | 3x²×2x³=6x⁵ | 4xy×(−2y²)=−8xy³ |
| División | Coeficientes se dividen. Exponentes se RESTAN. | 10x⁵÷2x²=5x³ |
4.1.2 Polinomios y operaciones
Un polinomio es la suma de varios monomios no semejantes. El grado del polinomio es el mayor grado de sus monomios.
(3x² + 2x − 1) + (x² − 5x + 3)
Agrupa semejantes: (3+1)x² + (2−5)x + (−1+3)
= 4x² − 3x + 2
Cada término del primero × cada término del segundo:
x×(x−3) + 2×(x−3) = x²−3x+2x−6
= x² − x − 6
4.1.3 Identidades notables
Son fórmulas que aparecen constantemente. Memorízalas: te ahorrarán mucho tiempo.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Ejemplo: (2x+5)² = 4x² + 20x + 25
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Ejemplo: (x−4)² = x² − 8x + 16
(a + b)(a − b) = a² − b²
Ejemplo: (3x+2)(3x−2) = 9x² − 4
Cuadrado de suma/resta: hay algo elevado al cuadrado → (□)² o (□)².
Suma por diferencia: dos factores iguales excepto que uno suma y el otro resta → (a+b)(a−b).
El resultado siempre tiene solo 2 términos: a²−b².
✏ Ejercicios del libro
4.2 Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad con una incógnita (x). Resolverla significa encontrar el valor de x que hace verdadera la igualdad. Son fundamentales para plantear y resolver problemas.
4.2.1 Ecuaciones de primer grado
Forma general: ax + b = 0 (la incógnita no tiene exponente mayor que 1).
1. Quita paréntesis (usa la distributiva)
2. Pasa los términos con x a un lado y los números al otro (cambia el signo al cruzar)
3. Simplifica cada lado
4. Despeja x dividiendo por su coeficiente
Quitamos paréntesis: 3x + 6 − 5 = x + 7 → 3x + 1 = x + 7
Agrupamos: 3x − x = 7 − 1 → 2x = 6
Despejamos: x = 6/2 = 3
Comprobación: 3(3+2)−5 = 15−5=10. x+7=3+7=10 ✓
4.2.2 Ecuaciones de segundo grado
Forma general: ax² + bx + c = 0 (la incógnita aparece al cuadrado).
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
• Δ > 0 → Dos soluciones distintas (lo más frecuente)
• Δ = 0 → Una solución doble (x₁=x₂)
• Δ < 0 → Sin solución real
Identificamos: a=1, b=−5, c=6
Discriminante: (−5)²−4×1×6 = 25−24 = 1
x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2
x₁ = (5+1)/2 = 3 x₂ = (5−1)/2 = 2
4.2.3 Sistemas de ecuaciones lineales
Dos ecuaciones con dos incógnitas que deben cumplirse a la vez. Tres métodos:
| Método | ¿Cómo? | Cuándo usarlo |
|---|---|---|
| Sustitución | Despejas x (o y) de una ecuación y lo sustituyes en la otra. | Cuando una ecuación tiene un término sin coeficiente |
| Igualación | Despejas la misma incógnita de las dos ecuaciones e igualas. | Cuando las dos ecuaciones despejadas se igualan fácil |
| Reducción | Sumas o restas las ecuaciones para eliminar una incógnita. | Cuando los coeficientes son iguales o fácilmente igualables |
De la 1ª ecuación: x = 5 − y
Sustituyendo en la 2ª: 2(5−y) − y = 1 → 10−2y−y=1 → −3y=−9 → y=3
x = 5 − 3 = 2
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4.3 Lenguaje Algebraico
El lenguaje algebraico es la "traducción" entre el español y las matemáticas. Saber traducir un enunciado a una ecuación (y viceversa) es la habilidad clave para resolver problemas de álgebra.
| Expresión en español | Expresión algebraica |
|---|---|
| Un número cualquiera | x |
| El doble de un número | 2x |
| La mitad de un número | x/2 |
| Un número aumentado en 5 | x + 5 |
| Un número disminuido en 3 | x − 3 |
| El triple de un número menos 7 | 3x − 7 |
| El cuadrado de un número | x² |
| Tres números consecutivos | x, x+1, x+2 |
| La edad de Juan hace 5 años | J − 5 |
| La edad de María dentro de 10 años | M + 10 |
| El perímetro de un cuadrado de lado L | 4L |
| El área de un rectángulo de base b y altura h | b × h |
Números consecutivos: x, x+1, x+2
La ecuación: x + (x+1) + (x+2) = 45 → 3x+3=45 → 3x=42 → x=14
Altura: h. Base: 2h (el doble que h).
Área = base × altura = 2h × h = 2h²
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5.1 Tablas, Gráficas y Medidas Estadísticas
La estadística organiza datos para extraer conclusiones. Las medidas de centralización nos dan un valor "representativo" del conjunto. Las medidas de dispersión nos dicen cuánto varían los datos entre sí.
5.1.1 Medidas de centralización
Suma de todos los datos dividida entre cuántos hay.
x̄ = (Σxᵢ) / N
Σxᵢ = suma de todos los datos · N = cantidad de datos
El valor que más veces aparece. Puede haber más de una moda, o ninguna.
Ordenados los datos de menor a mayor: si son impares, es el valor central. Si son pares, es la media de los dos centrales.
Media: (7+8+6+9+7)/5 = 37/5 = 7,4
Moda: el 7 aparece 2 veces (es el más frecuente) → Mo = 7
Ordenados: 6, 7, 7, 8, 9. Son 5 datos (impar) → el central es el 3º → Me = 7
5.1.2 Medidas de dispersión
Nos dicen cómo de "esparcidos" están los datos. Dos grupos pueden tener la misma media pero diferente dispersión.
R = Valor máximo − Valor mínimo
σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / N
σ = √(varianza) = √σ²
Media: (2+4+4+5+6+8)/6 = 29/6 ≈ 4,83
Rango: 8−2 = 6
Varianza: [(2−4,83)²+(4−4,83)²+(4−4,83)²+(5−4,83)²+(6−4,83)²+(8−4,83)²] / 6
= [8,009+0,689+0,689+0,029+1,369+10,049] / 6 = 20,834/6 ≈ 3,47
Desviación típica: σ = √3,47 ≈ 1,86
Tabla de frecuencias
Organizan los datos de forma eficiente mostrando cuántas veces aparece cada valor.
| Columna | Símbolo | ¿Qué es? |
|---|---|---|
| Frecuencia absoluta | fᵢ | Nº de veces que aparece ese valor |
| Frecuencia relativa | hᵢ | fᵢ / N (proporción, entre 0 y 1) |
| Frec. abs. acumulada | Fᵢ | Suma de todas las fᵢ hasta ese valor |
| Frec. rel. acumulada | Hᵢ | Suma de todas las hᵢ hasta ese valor |
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5.2 Probabilidad — Regla de Laplace
La probabilidad mide cuántas posibilidades hay de que algo ocurra. Va de 0 (imposible) a 1 (seguro). La Regla de Laplace es la herramienta principal cuando todos los resultados posibles son igualmente probables.
5.2.1 Conceptos fundamentales
Proceso cuyo resultado no se puede predecir con certeza aunque se conocen todos los posibles resultados. Ej: lanzar un dado.
Conjunto de TODOS los resultados posibles. Al lanzar un dado: E={1,2,3,4,5,6}.
Cualquier subconjunto del espacio muestral. Ej: "sacar par"={2,4,6}.
Número entre 0 y 1. P=0 imposible · P=1 seguro · P=0,5 igual de probable que no.
5.2.2 Regla de Laplace
P(A) = Casos favorables a A / Casos posibles totales
E={1,2,3,4,5,6} → 6 casos posibles
Favorables (pares)={2,4,6} → 3 casos
P(par) = 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50%
Total bolas: 5+3+2=10 casos posibles
Favorables (azules): 3
P(azul) = 3/10 = 0,3 = 30%
Si te da más de 1, algo está mal. Si te da exactamente 1, el suceso es seguro. Si te da 0, es imposible. Puedes expresarla como fracción, decimal o porcentaje: 3/10 = 0,3 = 30%.